求具体函数求定义域1. y = sqrt(x^2 - 1)2. y = ln(x^2 - 3x + 2)3. y = (2)/(3^x - 1)4. y = arcsin(3^x - 2)5. y = arcsin(x-1) + sqrt(3-x)6. y = ln sin x7. y = tan(1+3x)8. y = cot(2x-1)
求具体函数求定义域 1. $y = \sqrt{x^2 - 1}$ 2. $y = \ln(x^2 - 3x + 2)$ 3. $y = \frac{2}{3^x - 1}$ 4. $y = \arcsin(3^x - 2)$ 5. $y = \arcsin(x-1) + \sqrt{3-x}$ 6. $y = \ln \sin x$ 7. $y = \tan(1+3x)$ 8. $y = \cot(2x-1)$
题目解答
答案
我们逐个分析这些函数的定义域，也就是使得函数有意义的自变量 $ x $ 的取值范围。我们将从数学定义出发，逐步分析每个函数的定义域。
1. $ y = \sqrt{x^2 - 1} $
分析：
- 平方根函数要求被开方数非负，即 $ x^2 - 1 \geq 0 $
- 解不等式：
$x^2 - 1 \geq 0 \Rightarrow x^2 \geq 1 \Rightarrow x \leq -1 \quad \text{或} \quad x \geq 1$
定义域：
$\boxed{(-\infty, -1] \cup [1, \infty)}$
2. $ y = \ln(x^2 - 3x + 2) $
分析：
- 对数函数要求真数大于 0，即 $ x^2 - 3x + 2 > 0 $
- 解不等式：
$x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) > 0$
解得：
$x < 1 \quad \text{或} \quad x > 2$
定义域：
$\boxed{(-\infty, 1) \cup (2, \infty)}$
3. $ y = \frac{2}{3^x - 1} $
分析：
- 分母不能为 0，即 $ 3^x - 1 \neq 0 \Rightarrow 3^x \neq 1 \Rightarrow x \neq 0 $
定义域：
$\boxed{(-\infty, 0) \cup (0, \infty)}$
4. $ y = \arcsin(3^x - 2) $
分析：
- 反正弦函数的定义域是 $[-1, 1]$，所以要求：
$-1 \leq 3^x - 2 \leq 1$
解这个不等式：
$-1 \leq 3^x - 2 \leq 1 \Rightarrow 1 \leq 3^x \leq 3$
两边取对数（以 3 为底）：
$\log_3 1 \leq x \leq \log_3 3 \Rightarrow 0 \leq x \leq 1$
定义域：
$\boxed{[0, 1]}$
5. $ y = \arcsin(x-1) + \sqrt{3 - x} $
分析：
- $\arcsin(x - 1)$ 要求：$-1 \leq x - 1 \leq 1 \Rightarrow 0 \leq x \leq 2$
- $\sqrt{3 - x}$ 要求：$3 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 3$
取两个条件的交集：
$0 \leq x \leq 2$
定义域：
$\boxed{[0, 2]}$
6. $ y = \ln \sin x $
分析：
- $\ln(\sin x)$ 要求 $\sin x > 0$
- $\sin x > 0$ 在 $x \in (2k\pi, (2k+1)\pi)$，其中 $k \in \mathbb{Z}$
定义域：
$\boxed{\bigcup_{k \in \mathbb{Z}} (2k\pi, (2k+1)\pi)}$
7. $ y = \tan(1 + 3x) $
分析：
- 正切函数的定义域是：$\cos(1 + 3x) \neq 0$
- $\cos \theta = 0$ 当 $\theta = \frac{\pi}{2} + k\pi$
- 所以要求：
$1 + 3x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \Rightarrow x \neq \frac{1}{3}\left(\frac{\pi}{2} + k\pi - 1\right)$
定义域：
$\boxed{x \neq \frac{1}{3}\left(\frac{\pi}{2} + k\pi - 1\right), \quad k \in \mathbb{Z}}$
8. $ y = \cot(2x - 1) $
分析：
- 余切函数的定义域是：$\sin(2x - 1) \neq 0$
- $\sin \theta = 0$ 当 $\theta = k\pi$
- 所以要求：
$2x - 1 \neq k\pi \Rightarrow x \neq \frac{k\pi + 1}{2}$
定义域：
$\boxed{x \neq \frac{k\pi + 1}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}}$
总结：
| 题号 | 函数表达式 | 定义域 |
|---|---|---|
| 1 | $ y = \sqrt{x^2 - 1} $ | $ (-\infty, -1] \cup [1, \infty) $ |
| 2 | $ y = \ln(x^2 - 3x + 2) $ | $ (-\infty, 1) \cup (2, \infty) $ |
| 3 | $ y = \frac{2}{3^x - 1} $ | $ (-\infty, 0) \cup (0, \infty) $ |
| 4 | $ y = \arcsin(3^x - 2) $ | $ [0, 1] $ |
| 5 | $ y = \arcsin(x-1) + \sqrt{3 - x} $ | $ [0, 2] $ |
| 6 | $ y = \ln \sin x $ | $ \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} (2k\pi, (2k+1)\pi) $ |
| 7 | $ y = \tan(1 + 3x) $ | $ x \neq \frac{1}{3}\left(\frac{\pi}{2} + k\pi - 1\right), \; k \in \mathbb{Z} $ |
| 8 | $ y = \cot(2x - 1) $ | $ x \neq \frac{k\pi + 1}{2}, \; k \in \mathbb{Z} $ |
如有需要，我可以进一步解释某些函数的图像或性质。
解析
本题主要考查不同类型函数定义域的求解，解题的关键在于依据各类函数的性质，找出使得函数有意义的自变量 $x$ 的取值范围。
1. $y = \sqrt{x^2 - 1}$
对于平方根函数，被开方数必须非负，即 $x^2 - 1 \geq 0$。
解不等式 $x^2 - 1 \geq 0$，可转化为 $(x + 1)(x - 1) \geq 0$。
根据二次函数 $y=(x + 1)(x - 1)=x^2 - 1$ 的图像性质，二次项系数大于 $0$，图像开口向上，且与 $x$ 轴交点为 $x=-1$ 和 $x=1$，所以不等式的解为 $x \leq -1$ 或 $x \geq 1$。
故定义域为 $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$。
2. $y = \ln(x^2 - 3x + 2)$
对数函数要求真数大于 $0$，即 $x^2 - 3x + 2 > 0$。
对 $x^2 - 3x + 2$ 进行因式分解得 $(x - 1)(x - 2) > 0$。
根据二次函数 $y=(x - 1)(x - 2)=x^2 - 3x + 2$ 的图像性质，二次项系数大于 $0$，图像开口向上，且与 $x$ 轴交点为 $x=1$ 和 $x=2$，所以不等式的解为 $x < 1$ 或 $x > 2$。
故定义域为 $(-\infty, 1) \cup (2, \infty)$。
3. $y = \frac{2}{3^x - 1}$
分式函数的分母不能为 $0$，即 $3^x - 1 \neq 0$。
移项可得 $3^x \neq 1$，因为 $3^0 = 1$，所以 $x \neq 0$。
故定义域为 $(-\infty, 0) \cup (0, \infty)$。
4. $y = \arcsin(3^x - 2)$
反正弦函数的定义域是 $[-1, 1]$，所以有 $-1 \leq 3^x - 2 \leq 1$。
不等式两边同时加 $2$ 得 $1 \leq 3^x \leq 3$。
因为指数函数 $y = 3^x$ 是单调递增函数，对不等式两边取以 $3$ 为底的对数，可得 $\log_3 1 \leq x \leq \log_3 3$，即 $0 \leq x \leq 1$。
故定义域为 $[0, 1]$。
5. $y = \arcsin(x - 1) + \sqrt{3 - x}$
对于 $\arcsin(x - 1)$，要求 $-1 \leq x - 1 \leq 1$，不等式两边同时加 $1$ 得 $0 \leq x \leq 2$。
对于 $\sqrt{3 - x}$，要求 $3 - x \geq 0$，移项可得 $x \leq 3$。
要使函数有意义，需同时满足这两个条件，取它们的交集，即 $0 \leq x \leq 2$。
故定义域为 $[0, 2]$。
6. $y = \ln \sin x$
对数函数要求真数大于 $0$，即 $\sin x > 0$。
根据正弦函数的图像性质，$\sin x > 0$ 的解为 $x \in (2k\pi, (2k + 1)\pi)$，其中 $k \in \mathbb{Z}$。
故定义域为 $\bigcup_{k \in \mathbb{Z}} (2k\pi, (2k + 1)\pi)$。
7. $y = \tan(1 + 3x)$
正切函数的定义域要求 $\cos(1 + 3x) \neq 0$。
因为 $\cos \theta = 0$ 时，$\theta = \frac{\pi}{2} + k\pi$，$k \in \mathbb{Z}$，所以 $1 + 3x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$。
移项可得 $3x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi - 1$，两边同时除以 $3$ 得 $x \neq \frac{1}{3}(\frac{\pi}{2} + k\pi - 1)$，$k \in \mathbb{Z}$。
故定义域为 $x \neq \frac{1}{3}(\frac{\pi}{2} + k\pi - 1), k \in \mathbb{Z}$。
8. $y = \cot(2x - 1)$
余切函数的定义域要求 $\sin(2x - 1) \neq 0$。
因为 $\sin \theta = 0$ 时，$\theta = k\pi$，$k \in \mathbb{Z}$，所以 $2x - 1 \neq k\pi$。
移项可得 $2x \neq k\pi + 1$，两边同时除以 $2$ 得 $x \neq \frac{k\pi + 1}{2}$，$k \in \mathbb{Z}$。
故定义域为 $x \neq \frac{k\pi + 1}{2}, k \in \mathbb{Z}$。