题目
求由下列曲线所围成的平面图形绕指定坐标轴旋转而成的旋转体的体积:-|||-(1) =sqrt (x) =1 ,=4, =0, 绕x轴;-|||-(2) =(x)^3 =2 =0, 分别绕x轴与y轴;-|||-(3) =(x)^2, =(y)^2, 绕y轴;-|||-(4) ((x-5))^2+(y)^2=1, 绕y轴.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定旋转体的体积公式
旋转体的体积可以通过积分来计算。对于绕x轴旋转的旋转体，其体积公式为$V=\pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$，其中$f(x)$是旋转曲线的函数，$a$和$b$是旋转区间的端点。对于绕y轴旋转的旋转体，其体积公式为$V=\pi \int_{c}^{d} [g(y)]^2 dy$，其中$g(y)$是旋转曲线的函数，$c$和$d$是旋转区间的端点。
步骤 2：计算绕x轴旋转的旋转体体积
对于(1)中的曲线$y=\sqrt{x}$，绕x轴旋转的旋转体体积为$V=\pi \int_{1}^{4} (\sqrt{x})^2 dx = \pi \int_{1}^{4} x dx = \pi \left[\frac{x^2}{2}\right]_{1}^{4} = \pi \left(\frac{4^2}{2} - \frac{1^2}{2}\right) = \pi \left(8 - \frac{1}{2}\right) = \frac{15}{2}\pi$。
步骤 3：计算绕x轴和y轴旋转的旋转体体积
对于(2)中的曲线$y=x^3$，绕x轴旋转的旋转体体积为$V=\pi \int_{0}^{2} (x^3)^2 dx = \pi \int_{0}^{2} x^6 dx = \pi \left[\frac{x^7}{7}\right]_{0}^{2} = \pi \left(\frac{2^7}{7} - 0\right) = \frac{128}{7}\pi$。绕y轴旋转的旋转体体积为$V=\pi \int_{0}^{8} (\sqrt[3]{y})^2 dy = \pi \int_{0}^{8} y^{2/3} dy = \pi \left[\frac{3}{5}y^{5/3}\right]_{0}^{8} = \pi \left(\frac{3}{5}8^{5/3} - 0\right) = \frac{64}{5}\pi$。
步骤 4：计算绕y轴旋转的旋转体体积
对于(3)中的曲线$y=x^2$和$x=y^2$，绕y轴旋转的旋转体体积为$V=\pi \int_{0}^{1} (y^{1/2})^2 dy - \pi \int_{0}^{1} (y^2)^2 dy = \pi \int_{0}^{1} y dy - \pi \int_{0}^{1} y^4 dy = \pi \left[\frac{y^2}{2}\right]_{0}^{1} - \pi \left[\frac{y^5}{5}\right]_{0}^{1} = \pi \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{5}\right) = \frac{3}{10}\pi$。
步骤 5：计算绕y轴旋转的旋转体体积
对于(4)中的曲线$(x-5)^2+y^2=1$，绕y轴旋转的旋转体体积为$V=\pi \int_{-1}^{1} (5+\sqrt{1-y^2})^2 dy - \pi \int_{-1}^{1} (5-\sqrt{1-y^2})^2 dy = 2\pi \int_{-1}^{1} 5\sqrt{1-y^2} dy = 10\pi \int_{-1}^{1} \sqrt{1-y^2} dy = 10\pi \left[\frac{1}{2}y\sqrt{1-y^2} + \frac{1}{2}\arcsin(y)\right]_{-1}^{1} = 10\pi \left(\frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2})\right) = 10\pi^2$。
旋转体的体积可以通过积分来计算。对于绕x轴旋转的旋转体，其体积公式为$V=\pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$，其中$f(x)$是旋转曲线的函数，$a$和$b$是旋转区间的端点。对于绕y轴旋转的旋转体，其体积公式为$V=\pi \int_{c}^{d} [g(y)]^2 dy$，其中$g(y)$是旋转曲线的函数，$c$和$d$是旋转区间的端点。
步骤 2：计算绕x轴旋转的旋转体体积
对于(1)中的曲线$y=\sqrt{x}$，绕x轴旋转的旋转体体积为$V=\pi \int_{1}^{4} (\sqrt{x})^2 dx = \pi \int_{1}^{4} x dx = \pi \left[\frac{x^2}{2}\right]_{1}^{4} = \pi \left(\frac{4^2}{2} - \frac{1^2}{2}\right) = \pi \left(8 - \frac{1}{2}\right) = \frac{15}{2}\pi$。
步骤 3：计算绕x轴和y轴旋转的旋转体体积
对于(2)中的曲线$y=x^3$，绕x轴旋转的旋转体体积为$V=\pi \int_{0}^{2} (x^3)^2 dx = \pi \int_{0}^{2} x^6 dx = \pi \left[\frac{x^7}{7}\right]_{0}^{2} = \pi \left(\frac{2^7}{7} - 0\right) = \frac{128}{7}\pi$。绕y轴旋转的旋转体体积为$V=\pi \int_{0}^{8} (\sqrt[3]{y})^2 dy = \pi \int_{0}^{8} y^{2/3} dy = \pi \left[\frac{3}{5}y^{5/3}\right]_{0}^{8} = \pi \left(\frac{3}{5}8^{5/3} - 0\right) = \frac{64}{5}\pi$。
步骤 4：计算绕y轴旋转的旋转体体积
对于(3)中的曲线$y=x^2$和$x=y^2$，绕y轴旋转的旋转体体积为$V=\pi \int_{0}^{1} (y^{1/2})^2 dy - \pi \int_{0}^{1} (y^2)^2 dy = \pi \int_{0}^{1} y dy - \pi \int_{0}^{1} y^4 dy = \pi \left[\frac{y^2}{2}\right]_{0}^{1} - \pi \left[\frac{y^5}{5}\right]_{0}^{1} = \pi \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{5}\right) = \frac{3}{10}\pi$。
步骤 5：计算绕y轴旋转的旋转体体积
对于(4)中的曲线$(x-5)^2+y^2=1$，绕y轴旋转的旋转体体积为$V=\pi \int_{-1}^{1} (5+\sqrt{1-y^2})^2 dy - \pi \int_{-1}^{1} (5-\sqrt{1-y^2})^2 dy = 2\pi \int_{-1}^{1} 5\sqrt{1-y^2} dy = 10\pi \int_{-1}^{1} \sqrt{1-y^2} dy = 10\pi \left[\frac{1}{2}y\sqrt{1-y^2} + \frac{1}{2}\arcsin(y)\right]_{-1}^{1} = 10\pi \left(\frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2})\right) = 10\pi^2$。