题目
8.设总体X的分布律为PX=1=(1-theta)/(2),PX=2=PX=3=(1+theta)/(4)，利用总体样本值1,3,2,2,1,3,1,2,求θ的最大似然估计值hat(theta).
8.设总体X的分布律为$P\{X=1\}=\frac{1-\theta}{2},P\{X=2\}=P\{X=3\}=\frac{1+\theta}{4}$，利用总体样本值1,3,2,2,1,3,1,2,求θ的最大似然估计值$\hat{\theta}$.
题目解答
答案
似然函数为：
\[
L(\theta) = \left( \frac{1-\theta}{2} \right)^3 \left( \frac{1+\theta}{4} \right)^5
\]
取对数：
\[
\ln L(\theta) = 3 \ln \left( \frac{1-\theta}{2} \right) + 5 \ln \left( \frac{1+\theta}{4} \right)
\]
求导并令其为零：
\[
\frac{d \ln L(\theta)}{d \theta} = -\frac{3}{1-\theta} + \frac{5}{1+\theta} = 0
\]
解得：
\[
\theta = \frac{1}{4}
\]
满足概率范围 $-1 \leq \theta \leq 1$，故最大似然估计值为 $\boxed{\frac{1}{4}}$。
解析
步骤 1：构造似然函数
根据题目给出的分布律和样本值，构造似然函数。样本值中1出现了3次，2出现了3次，3出现了2次。因此，似然函数为：
\[ L(\theta) = \left( \frac{1-\theta}{2} \right)^3 \left( \frac{1+\theta}{4} \right)^5 \]
步骤 2：取对数
为了简化计算，对似然函数取对数，得到对数似然函数：
\[ \ln L(\theta) = 3 \ln \left( \frac{1-\theta}{2} \right) + 5 \ln \left( \frac{1+\theta}{4} \right) \]
步骤 3：求导并令其为零
对对数似然函数求导，得到：
\[ \frac{d \ln L(\theta)}{d \theta} = -\frac{3}{1-\theta} + \frac{5}{1+\theta} \]
令导数等于零，求解θ：
\[ -\frac{3}{1-\theta} + \frac{5}{1+\theta} = 0 \]
解得：
\[ \theta = \frac{1}{4} \]
步骤 4：验证θ的范围
根据题目中θ的取值范围 $-1 \leq \theta \leq 1$，验证解得的θ值是否满足条件。显然，$\theta = \frac{1}{4}$ 满足条件。
根据题目给出的分布律和样本值，构造似然函数。样本值中1出现了3次，2出现了3次，3出现了2次。因此，似然函数为：
\[ L(\theta) = \left( \frac{1-\theta}{2} \right)^3 \left( \frac{1+\theta}{4} \right)^5 \]
步骤 2：取对数
为了简化计算，对似然函数取对数，得到对数似然函数：
\[ \ln L(\theta) = 3 \ln \left( \frac{1-\theta}{2} \right) + 5 \ln \left( \frac{1+\theta}{4} \right) \]
步骤 3：求导并令其为零
对对数似然函数求导，得到：
\[ \frac{d \ln L(\theta)}{d \theta} = -\frac{3}{1-\theta} + \frac{5}{1+\theta} \]
令导数等于零，求解θ：
\[ -\frac{3}{1-\theta} + \frac{5}{1+\theta} = 0 \]
解得：
\[ \theta = \frac{1}{4} \]
步骤 4：验证θ的范围
根据题目中θ的取值范围 $-1 \leq \theta \leq 1$，验证解得的θ值是否满足条件。显然，$\theta = \frac{1}{4}$ 满足条件。