[题目]函数 =dfrac ({x)^2}(sqrt {1-{x)^2}} 在区间 [ dfrac (1)(2),dfrac (sqrt {3)}(2)] 上的平均值-|||-为 __

考查要点：本题主要考查函数在区间上的平均值计算，涉及定积分的计算及三角代换的应用。

解题核心思路：

1. 平均值公式：函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的平均值为$\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx$。
2. 积分化简：被积函数$\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}$可通过三角代换（令$x=\sin t$）转化为关于$t$的三角函数积分，简化计算。
3. 积分计算：利用三角恒等式（如$\sin^2 t = \frac{1-\cos 2t}{2}$）展开并逐项积分。

破题关键点：

• 变量代换的选择（$x=\sin t$）将根号消去，简化积分形式。
• 积分区间的转换需对应原区间$x \in [\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}]$到$t \in [\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}]$。
• 代数化简时注意分母有理化。

平均值公式应用
函数$y=\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}$在区间$[\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}]$上的平均值为：
$\text{平均值} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}} \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx = \frac{2}{\sqrt{3}-1} \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx.$

三角代换
令$x = \sin t$，则$dx = \cos t \, dt$，且当$x = \frac{1}{2}$时$t = \frac{\pi}{6}$，当$x = \frac{\sqrt{3}}{2}$时$t = \frac{\pi}{3}$。代入后积分变为：
$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin^2 t}{\cos t} \cdot \cos t \, dt = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \sin^2 t \, dt.$

积分计算
利用$\sin^2 t = \frac{1 - \cos 2t}{2}$展开：
$\int \sin^2 t \, dt = \int \frac{1 - \cos 2t}{2} dt = \frac{1}{2}t - \frac{1}{4}\sin 2t + C.$

代入上下限
计算定积分：
$\left[ \frac{1}{2}t - \frac{1}{4}\sin 2t \right]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} = \left( \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{8} \right) - \left( \frac{\pi}{12} - \frac{\sqrt{3}}{8} \right) = \frac{\pi}{12}.$

最终结果
平均值为：
$\frac{2}{\sqrt{3}-1} \cdot \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{6(\sqrt{3}-1)}.$

分母有理化
分子分母同乘$\sqrt{3}+1$：
$\frac{\pi}{6(\sqrt{3}-1)} \cdot \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1} = \frac{(\sqrt{3}+1)\pi}{12}.$