24 设f(z)=sin z，则下列命题中，不正确的是（）。A. f(z) 在复平面上处处解析B. f(z) 以2π为周期C. f(z)=(e^z-e^-z)/(2)D. |f(z)| 是无界的

本题主要考查复变函数 $\sin z$ 的性质，包括解析性、周期性、表达式以及模的有界性。解题思路是依次分析每个选项，根据复变函数 $\sin z$ 的相关定义和性质来判断其正确性。

选项A

根据复变函数解析性的定义，若函数 $f(z)$ 在区域 $D$ 内可导，则称 $f(z)$ 在 $D$ 内解析。对于 $f(z)=\sin z$，其导数为 $f^\prime(z)=\cos z$，而 $\cos z$ 在复平面上处处有定义，即 $\sin z$ 在复平面上处处可导，所以 $f(z)=\sin z$ 在复平面上处处解析，选项A正确。

选项B

根据周期函数的定义，若存在非零常数 $T$，使得对于任意 $z$ 都有 $f(z + T) = f(z)$，则称 $f(z)$ 是以 $T$ 为周期的周期函数。
对于 $f(z)=\sin z$，有：
$\begin{align*}\sin(z + 2\pi)&=\frac{e^{i(z + 2\pi)}-e^{-i(z + 2\pi)}}{2i}\\&=\frac{e^{iz}\cdot e^{i2\pi}-e^{-iz}\cdot e^{-i2\pi}}{2i}\\&=\frac{e^{iz}\cdot 1 - e^{-iz}\cdot 1}{2i}\\&=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\\&=\sin z\end{align*}$
所以 $f(z)=\sin z$ 以 $2\pi$ 为周期，选项B正确。

选项C

复变函数 $\sin z$ 的定义为 $\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$，而不是 $\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}$，所以选项C错误。

选项D

令 $z = iy$（$y$ 为实数），则：
$\begin{align*}|\sin z|&=\left|\sin(iy)\right|\\&=\left|\frac{e^{i(iy)}-e^{-i(iy)}}{2i}\right|\\&=\left|\frac{e^{-y}-e^{y}}{2i}\right|\\&=\frac{|e^{-y}-e^{y}|}{2}\end{align*}$
当 $y\to +\infty$ 时，$e^{y}\to +\infty$，$e^{-y}\to 0$，则 $\frac{|e^{-y}-e^{y}|}{2}\to +\infty$，所以 $|f(z)|$ 是无界的，选项D正确。