题目
设总体X在区间 (0,dfrac (theta )(2)) 上服从均匀分布,参数θ未知,X1,X2,···,N,是来自总-|||-体X的样本,则θ的矩估计量为A.设总体X在区间 (0,dfrac (theta )(2)) 上服从均匀分布,参数θ未知,X1,X2,···,N,是来自总-|||-体X的样本,则θ的矩估计量为B.设总体X在区间 (0,dfrac (theta )(2)) 上服从均匀分布,参数θ未知,X1,X2,···,N,是来自总-|||-体X的样本,则θ的矩估计量为C.设总体X在区间 (0,dfrac (theta )(2)) 上服从均匀分布,参数θ未知,X1,X2,···,N,是来自总-|||-体X的样本,则θ的矩估计量为D.设总体X在区间 (0,dfrac (theta )(2)) 上服从均匀分布,参数θ未知,X1,X2,···,N,是来自总-|||-体X的样本,则θ的矩估计量为
A.
B.
C.
D.
题目解答
答案
D. $\hat {\theta }=4\hat {r}$
解析
步骤 1：确定总体X的分布
总体X在区间 $(0,\dfrac {\theta }{2})$ 上服从均匀分布，其概率密度函数为
$$
f(x) = \begin{cases}
\frac{2}{\theta}, & 0 < x < \frac{\theta}{2} \\
0, & \text{其他}
\end{cases}
$$
步骤 2：计算总体X的期望
总体X的期望为
$$
E(X) = \int_{0}^{\frac{\theta}{2}} x \cdot \frac{2}{\theta} dx = \frac{1}{\theta} \int_{0}^{\frac{\theta}{2}} 2x dx = \frac{1}{\theta} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\theta^2}{4} = \frac{\theta}{4}
$$
步骤 3：使用矩估计法
矩估计法是用样本矩来估计总体矩，从而得到参数的估计值。这里，我们用样本均值 $\hat{r}$ 来估计总体均值 $E(X)$，即
$$
\hat{r} = \frac{\theta}{4}
$$
解得
$$
\hat{\theta} = 4\hat{r}
$$
总体X在区间 $(0,\dfrac {\theta }{2})$ 上服从均匀分布，其概率密度函数为
$$
f(x) = \begin{cases}
\frac{2}{\theta}, & 0 < x < \frac{\theta}{2} \\
0, & \text{其他}
\end{cases}
$$
步骤 2：计算总体X的期望
总体X的期望为
$$
E(X) = \int_{0}^{\frac{\theta}{2}} x \cdot \frac{2}{\theta} dx = \frac{1}{\theta} \int_{0}^{\frac{\theta}{2}} 2x dx = \frac{1}{\theta} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\theta^2}{4} = \frac{\theta}{4}
$$
步骤 3：使用矩估计法
矩估计法是用样本矩来估计总体矩，从而得到参数的估计值。这里，我们用样本均值 $\hat{r}$ 来估计总体均值 $E(X)$，即
$$
\hat{r} = \frac{\theta}{4}
$$
解得
$$
\hat{\theta} = 4\hat{r}
$$