3.设x1,x2,···,x 16是来自正态总体N(μ,4)的样本,考虑检验问题-|||-H0:μ=6 vs H1:μ≠6,-|||-拒绝域取为 = |overline {x)-6|geqslant c} , 试求c使得检验的显著性水平为0.05,并求该检验在 mu =6.5 处犯第二-|||-类错误的概率.

考查要点：本题主要考查假设检验的基本原理，包括显著性水平的确定和第二类错误概率的计算。需要掌握正态总体样本均值的分布、标准化统计量的构造，以及标准正态分布分位数的应用。

解题核心思路：

1. 确定拒绝域的临界值c：根据显著性水平α=0.05，利用标准正态分布的双侧分位数求解。
2. 计算第二类错误概率β：在备择假设μ=6.5下，计算样本均值落在接受域的概率。

破题关键点：

• 标准化处理：将样本均值的分布转化为标准正态分布，便于查表计算。
• 分位数的应用：正确使用标准正态分布的分位数（如z_{0.025}=1.96）。
• 非中心化统计量：在计算β时，需调整均值为μ=6.5，重新计算概率。

步骤1：确定临界值c

1. 构造检验统计量：
   样本均值$\overline{X} \sim N\left(\mu, \frac{4}{16}\right) = N\left(\mu, 0.25\right)$，标准化后为：
   $Z = \frac{\overline{X} - 6}{\sqrt{0.25}} = \frac{\overline{X} - 6}{0.5}$
   拒绝域为$|Z| \geq z_{0.025}$，其中$z_{0.025}=1.96$。

2. 求解c：
   拒绝域等价于$|\overline{X} - 6| \geq 0.5 \times 1.96 = 0.98$，故$c=0.98$。

步骤2：计算第二类错误概率β

1. 确定$\overline{X}$的分布：
   当$\mu=6.5$时，$\overline{X} \sim N\left(6.5, 0.25\right)$，即$\overline{X} \sim N(6.5, 0.5^2)$。

2. 计算接受域概率：
   接受域为$|\overline{X} - 6| < 0.98$，即$\overline{X} \in (5.02, 6.98)$。转化为标准正态分布：
   $Z = \frac{\overline{X} - 6.5}{0.5}$
   对应的Z范围为：
   $\frac{5.02 - 6.5}{0.5} = -2.96, \quad \frac{6.98 - 6.5}{0.5} = 0.96$

3. 查标准正态分布表：
   $\Phi(0.96) \approx 0.8315$，$\Phi(-2.96) \approx 0.0015$，故：
   $\beta = \Phi(0.96) - \Phi(-2.96) \approx 0.8315 - 0.0015 = 0.83$