题目
设 X_1, X_2, X_3 是来自总体 X 的样本，则下列(）不是总体均值 mu 的无偏估计量。A. hat(mu)_1 = X_3B. hat(mu)_2 = 2X_1 - X_2C. hat(mu)_3 = 0.2X_1 + X_2 + 0.2X_3D. hat(mu)_3 = (1)/(3)(X_1 + X_2 + X_3)
设 $X_1, X_2, X_3$ 是来自总体 $X$ 的样本，则下列(）不是总体均值 $\mu$ 的无偏估计量。
A. $\hat{\mu}_1 = X_3$
B. $\hat{\mu}_2 = 2X_1 - X_2$
C. $\hat{\mu}_3 = 0.2X_1 + X_2 + 0.2X_3$
D. $\hat{\mu}_3 = \frac{1}{3}(X_1 + X_2 + X_3)$
题目解答
答案
C. $\hat{\mu}_3 = 0.2X_1 + X_2 + 0.2X_3$
解析
步骤 1：理解无偏估计量的定义
无偏估计量是指其期望值等于总体参数的估计量。对于总体均值 $\mu$ 的无偏估计量，其期望值应等于 $\mu$。
步骤 2：计算各选项的期望值
- **选项 A**：$E(X_3) = \mu$，无偏。
- **选项 B**：$E(2X_1 - X_2) = 2E(X_1) - E(X_2) = 2\mu - \mu = \mu$，无偏。
- **选项 C**：$E(0.2X_1 + X_2 + 0.2X_3) = 0.2E(X_1) + E(X_2) + 0.2E(X_3) = 0.2\mu + \mu + 0.2\mu = 1.4\mu \neq \mu$，有偏。
- **选项 D**：$E\left(\frac{1}{3}(X_1 + X_2 + X_3)\right) = \frac{1}{3}(E(X_1) + E(X_2) + E(X_3)) = \frac{1}{3}(\mu + \mu + \mu) = \mu$，无偏。
步骤 3：验证系数和
无偏估计量的系数和应为1。选项C系数和为1.4，不符合条件。
无偏估计量是指其期望值等于总体参数的估计量。对于总体均值 $\mu$ 的无偏估计量，其期望值应等于 $\mu$。
步骤 2：计算各选项的期望值
- **选项 A**：$E(X_3) = \mu$，无偏。
- **选项 B**：$E(2X_1 - X_2) = 2E(X_1) - E(X_2) = 2\mu - \mu = \mu$，无偏。
- **选项 C**：$E(0.2X_1 + X_2 + 0.2X_3) = 0.2E(X_1) + E(X_2) + 0.2E(X_3) = 0.2\mu + \mu + 0.2\mu = 1.4\mu \neq \mu$，有偏。
- **选项 D**：$E\left(\frac{1}{3}(X_1 + X_2 + X_3)\right) = \frac{1}{3}(E(X_1) + E(X_2) + E(X_3)) = \frac{1}{3}(\mu + \mu + \mu) = \mu$，无偏。
步骤 3：验证系数和
无偏估计量的系数和应为1。选项C系数和为1.4，不符合条件。