设随机变量X的分布函数为(X)=dfrac (1)(2)Phi (x)+dfrac (1)(2)Phi (dfrac (x-4)(2))(X)=dfrac (1)(2)Phi (x)+dfrac (1)(2)Phi (dfrac (x-4)(2)),则EX=（）(X)=dfrac (1)(2)Phi (x)+dfrac (1)(2)Phi (dfrac (x-4)(2))

考查要点：本题主要考查混合分布的期望计算，涉及分布函数与概率密度函数的关系以及变量替换法在积分中的应用。

解题核心思路：

1. 识别分布类型：题目中的分布函数是两个标准正态分布函数的线性组合，对应随机变量服从混合正态分布。
2. 拆分期望计算：利用期望的线性性质，将混合分布的期望分解为各分量期望的加权平均。
3. 简化计算：若直接积分，需通过变量替换将积分转化为已知正态分布的期望形式。

破题关键点：

• 正确求导得到概率密度函数，注意链式法则的应用。
• 拆分积分并简化，利用标准正态分布的对称性和积分性质。

步骤1：求概率密度函数
分布函数为：
$F(x) = \frac{1}{2}\Phi(x) + \frac{1}{2}\Phi\left(\frac{x-4}{2}\right)$
对$x$求导得概率密度函数：
$f(x) = \frac{d}{dx}F(x) = \frac{1}{2}\varphi(x) + \frac{1}{2} \cdot \varphi\left(\frac{x-4}{2}\right) \cdot \frac{1}{2} = 0.5\varphi(x) + 0.25\varphi\left(\frac{x-4}{2}\right)$
其中$\varphi(x)$为标准正态分布的概率密度函数。

步骤2：拆分期望积分
期望$E(X)$为：
$E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx = 0.5 \int_{-\infty}^{+\infty} x \varphi(x) dx + 0.25 \int_{-\infty}^{+\infty} x \varphi\left(\frac{x-4}{2}\right) dx$

步骤3：计算第一项积分
第一项积分对应标准正态分布的期望：
$\int_{-\infty}^{+\infty} x \varphi(x) dx = 0$
因此第一项为$0.5 \times 0 = 0$。

步骤4：计算第二项积分
令$t = \frac{x-4}{2}$，则$x = 2t + 4$，$dx = 2dt$，代入积分：
$\begin{aligned}0.25 \int_{-\infty}^{+\infty} x \varphi(t) \cdot 2 dt &= 0.5 \int_{-\infty}^{+\infty} (2t + 4) \varphi(t) dt \\&= 0.5 \left[ 2 \int_{-\infty}^{+\infty} t \varphi(t) dt + 4 \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(t) dt \right] \\&= 0.5 \left[ 2 \cdot 0 + 4 \cdot 1 \right] = 0.5 \times 4 = 2\end{aligned}$

步骤5：合并结果
最终期望为：
$E(X) = 0 + 2 = 2$