题目
X_1, X_2,..., X_n 是来自正态总体 X sim N(mu, sigma^2) 的简单随机样本。当总体方差未知时,总体均值的置信水平为 1 - alpha 的置信区间为() A. [overline(X) pm u_((alpha)/(2)) (sigma)/(sqrt(n))]B. [overline(X) pm u_((alpha)/(2)) (S)/(sqrt(n))]C. [overline(X) pm t_((alpha)/(2)) (n-1)(sigma)/(sqrt(n))]D. [overline(X) pm t_((alpha)/(2)) (n-1)(S)/(sqrt(n))]
$X_1, X_2,..., X_n$ 是来自正态总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ 的简单随机样本。当总体方差未知时,总体均值的置信水平为 $1 - \alpha$ 的置信区间为()
- A. $[\overline{X} \pm u_{\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}]$
- B. $[\overline{X} \pm u_{\frac{\alpha}{2}} \frac{S}{\sqrt{n}}]$
- C. $[\overline{X} \pm t_{\frac{\alpha}{2}} (n-1)\frac{\sigma}{\sqrt{n}}]$
- D. $[\overline{X} \pm t_{\frac{\alpha}{2}} (n-1)\frac{S}{\sqrt{n}}]$
题目解答
答案
为了确定当总体方差未知时，总体均值的置信水平为 $1 - \alpha$ 的置信区间，我们需要使用 t 分布。t 分布适用于小样本量或总体方差未知的情况。
给定的样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 来自正态总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，其中 $\sigma^2$ 未知。样本均值 $\overline{X}$ 和样本标准差 $S$ 分别定义为：
\[
\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i
\]
\[
S = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2}
\]
当总体方差未知时，我们使用 t 统计量来构造置信区间。t 统计量定义为：
\[
T = \frac{\overline{X} - \mu}{S / \sqrt{n}}
\]
这个统计量服从自由度为 $n-1$ 的 t 分布，即 $T \sim t(n-1)$。
为了找到总体均值 $\mu$ 的置信水平为 $1 - \alpha$ 的置信区间，我们需要找到 t 分布的上 $\alpha/2$ 分位数 $t_{\alpha/2}(n-1)$。这个分位数满足：
\[
P(T > t_{\alpha/2}(n-1)) = \frac{\alpha}{2}
\]
\[
P(T < -t_{\alpha/2}(n-1)) = \frac{\alpha}{2}
\]
\[
P(-t_{\alpha/2}(n-1) < T < t_{\alpha/2}(n-1)) = 1 - \alpha
\]
将 t 统计量的表达式代入这个不等式，我们得到：
\[
P\left(-t_{\alpha/2}(n-1) < \frac{\overline{X} - \mu}{S / \sqrt{n}} < t_{\alpha/2}(n-1)\right) = 1 - \alpha
\]
解这个不等式，我们得到 $\mu$ 的置信区间：
\[
P\left(\overline{X} - t_{\alpha/2}(n-1) \frac{S}{\sqrt{n}} < \mu < \overline{X} + t_{\alpha/2}(n-1) \frac{S}{\sqrt{n}}\right) = 1 - \alpha
\]
因此，总体均值 $\mu$ 的置信水平为 $1 - \alpha$ 的置信区间为：
\[
\left[\overline{X} \pm t_{\alpha/2}(n-1) \frac{S}{\sqrt{n}}\right]
\]
所以，正确答案是：
\[
\boxed{D}
\]
解析
步骤 1：确定总体方差未知时的统计量
当总体方差未知时，我们使用样本标准差 $S$ 来估计总体标准差 $\sigma$。因此，我们需要使用 t 分布来构造置信区间，而不是使用标准正态分布。
步骤 2：构造 t 统计量
t 统计量定义为：\[ T = \frac{\overline{X} - \mu}{S / \sqrt{n}} \] 其中 $\overline{X}$ 是样本均值，$S$ 是样本标准差，$n$ 是样本量，$\mu$ 是总体均值。这个统计量服从自由度为 $n-1$ 的 t 分布，即 $T \sim t(n-1)$。
步骤 3：确定置信区间
为了找到总体均值 $\mu$ 的置信水平为 $1 - \alpha$ 的置信区间，我们需要找到 t 分布的上 $\alpha/2$ 分位数 $t_{\alpha/2}(n-1)$。这个分位数满足：\[ P(T > t_{\alpha/2}(n-1)) = \frac{\alpha}{2} \] \[ P(T < -t_{\alpha/2}(n-1)) = \frac{\alpha}{2} \] \[ P(-t_{\alpha/2}(n-1) < T < t_{\alpha/2}(n-1)) = 1 - \alpha \] 将 t 统计量的表达式代入这个不等式，我们得到：\[ P\left(-t_{\alpha/2}(n-1) < \frac{\overline{X} - \mu}{S / \sqrt{n}} < t_{\alpha/2}(n-1)\right) = 1 - \alpha \] 解这个不等式，我们得到 $\mu$ 的置信区间：\[ P\left(\overline{X} - t_{\alpha/2}(n-1) \frac{S}{\sqrt{n}} < \mu < \overline{X} + t_{\alpha/2}(n-1) \frac{S}{\sqrt{n}}\right) = 1 - \alpha \] 因此，总体均值 $\mu$ 的置信水平为 $1 - \alpha$ 的置信区间为：\[ \left[\overline{X} \pm t_{\alpha/2}(n-1) \frac{S}{\sqrt{n}}\right] \]
当总体方差未知时，我们使用样本标准差 $S$ 来估计总体标准差 $\sigma$。因此，我们需要使用 t 分布来构造置信区间，而不是使用标准正态分布。
步骤 2：构造 t 统计量
t 统计量定义为：\[ T = \frac{\overline{X} - \mu}{S / \sqrt{n}} \] 其中 $\overline{X}$ 是样本均值，$S$ 是样本标准差，$n$ 是样本量，$\mu$ 是总体均值。这个统计量服从自由度为 $n-1$ 的 t 分布，即 $T \sim t(n-1)$。
步骤 3：确定置信区间
为了找到总体均值 $\mu$ 的置信水平为 $1 - \alpha$ 的置信区间，我们需要找到 t 分布的上 $\alpha/2$ 分位数 $t_{\alpha/2}(n-1)$。这个分位数满足：\[ P(T > t_{\alpha/2}(n-1)) = \frac{\alpha}{2} \] \[ P(T < -t_{\alpha/2}(n-1)) = \frac{\alpha}{2} \] \[ P(-t_{\alpha/2}(n-1) < T < t_{\alpha/2}(n-1)) = 1 - \alpha \] 将 t 统计量的表达式代入这个不等式，我们得到：\[ P\left(-t_{\alpha/2}(n-1) < \frac{\overline{X} - \mu}{S / \sqrt{n}} < t_{\alpha/2}(n-1)\right) = 1 - \alpha \] 解这个不等式，我们得到 $\mu$ 的置信区间：\[ P\left(\overline{X} - t_{\alpha/2}(n-1) \frac{S}{\sqrt{n}} < \mu < \overline{X} + t_{\alpha/2}(n-1) \frac{S}{\sqrt{n}}\right) = 1 - \alpha \] 因此，总体均值 $\mu$ 的置信水平为 $1 - \alpha$ 的置信区间为：\[ \left[\overline{X} \pm t_{\alpha/2}(n-1) \frac{S}{\sqrt{n}}\right] \]