函数y=arcsin x的导数是()。A. (1)/(sqrt((1-x^2)))B. (1)/(sqrt((1+x^2)))C. (1)/((1+x^2))D. (1)/((1-x^2))

本题考查反三角函数求导的知识点，解题思路是通过设函数$y = \arcsin x$，将其转化为$x = \sin y$，然后利用隐函数求导法则对$x = \sin y$两边关于$x$求导，最后求出$y'$。

1. 设$y = \arcsin x$，根据反正弦函数的定义可知$x = \sin y$，其中$y\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$。
2. 对$x = \sin y$两边同时关于$x$求导：
   • 等式左边$(x)'$根据求导公式$(x^n)'=nx^{n - 1}$，当$n = 1$时，$(x)'=1$。
   • 等式右边$(\sin y)'$，根据复合函数求导法则，令$u = y(x)$，则$(\sin y)'$可看作$\sin u$对$x$求导，根据复合函数求导公式$(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$，这里$f(u)=\sin u$，$g(x)=y$，所以$(\sin y)'=\cos y\cdot y'$。
   • 那么可得$1=\cos y\cdot y'$。
3. 求解$y'$：
   • 由$1=\cos y\cdot y'$，可得$y'=\frac{1}{\cos y}$。
   • 根据三角函数的平方关系$\sin^{2}y+\cos^{2}y = 1$，则$\cos y=\pm\sqrt{1 - \sin^{2}y}$。
   • 因为$y\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$，在这个区间内$\cos y\geq0$，所以$\cos y=\sqrt{1 - \sin^{2}y}$。
   • 又因为$x = \sin y$，所以$\cos y=\sqrt{1 - x^{2}}$。
   • 则$y'=\frac{1}{\cos y}=\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$，即$(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$，$x\in(-1,1)$。