题目
设 X_1, X_2, ..., X_n 是X的样本,X的期望为EX,且 overline(X) = (1)/(n) sum_(i=1)^n X_i ,则有().A. overline(X) = EXB. Eoverline(X) = EXC. overline(X) = (1)/(n) EXD. overline(X) approx EX
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是X的样本,X的期望为EX,且 $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$ ,则有().
A. $\overline{X} = EX$
B. $E\overline{X} = EX$
C. $\overline{X} = \frac{1}{n} EX$
D. $\overline{X} \approx EX$
题目解答
答案
B. $E\overline{X} = EX$
解析
步骤 1：定义样本均值
样本均值 $\overline{X}$ 定义为所有样本值的平均值，即 $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$，其中 $X_i$ 是样本中的第 $i$ 个观测值。
步骤 2：利用期望的线性性质
期望的线性性质表明，对于任意随机变量 $X$ 和常数 $a$，有 $E(aX) = aE(X)$。因此，对于样本均值 $\overline{X}$，我们有：
\[ E\overline{X} = E\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} E(X_i) \]
步骤 3：计算期望
由于 $X_i$ 与 $X$ 同分布，所以 $E(X_i) = EX$ 对于所有 $i$ 都成立。因此，我们有：
\[ E\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} EX = \frac{1}{n} \cdot n \cdot EX = EX \]
样本均值 $\overline{X}$ 定义为所有样本值的平均值，即 $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$，其中 $X_i$ 是样本中的第 $i$ 个观测值。
步骤 2：利用期望的线性性质
期望的线性性质表明，对于任意随机变量 $X$ 和常数 $a$，有 $E(aX) = aE(X)$。因此，对于样本均值 $\overline{X}$，我们有：
\[ E\overline{X} = E\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} E(X_i) \]
步骤 3：计算期望
由于 $X_i$ 与 $X$ 同分布，所以 $E(X_i) = EX$ 对于所有 $i$ 都成立。因此，我们有：
\[ E\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} EX = \frac{1}{n} \cdot n \cdot EX = EX \]