题目
托马斯•贝叶斯(Thomas Bayes)在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：P(A|B)=(P(B|A)•P(A))/(P(B|A)•P(A)+P(B|(A)^c)•P({A)^c)}，这个公式被称为贝叶斯公式(贝叶斯定理)，其中P(B|A)•P(A)+P(B|Ac)•P(Ac)称为B的全概率．这个定理在实际生活中有着重要的应用价值．假设某种疾病在所有人群中的感染率是0.1%，医院现有的技术对于该疾病检测准确率为99%，即已知患病情况下，99%的可能性可以检查出阳性，正常人99%的可能性检查为正常．如果从人群中随机抽一个人去检测，经计算检测结果为阳性的全概率为0.01098，请你用贝叶斯公式估计在医院给出的检测结果为阳性的条件下这个人得病的概率( ) A. 0.1% B. 8% C. 9% D. 99%
托马斯•贝叶斯(Thomas Bayes)在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：P(A|B)=$\frac{P(B|A)•P(A)}{P(B|A)•P(A)+P(B|{A}^{c})•P({A}^{c})}$，这个公式被称为贝叶斯公式(贝叶斯定理)，其中P(B|A)•P(A)+P(B|Ac)•P(Ac)称为B的全概率．这个定理在实际生活中有着重要的应用价值．假设某种疾病在所有人群中的感染率是0.1%，医院现有的技术对于该疾病检测准确率为99%，即已知患病情况下，99%的可能性可以检查出阳性，正常人99%的可能性检查为正常．如果从人群中随机抽一个人去检测，经计算检测结果为阳性的全概率为0.01098，请你用贝叶斯公式估计在医院给出的检测结果为阳性的条件下这个人得病的概率( )
- A. 0.1%
- B. 8%
- C. 9%
- D. 99%
题目解答
答案
解：记一个人得病为事件A，检测结果为阳性为事件B，
则P(A)=0.1%，P(B|A)=99%，
P(B|A)•P(A)+P(B|Ac)•P(Ac)=0.01098，
所以P(A|B)=$\frac{P(B|A)•P(A)}{P(B|A)•P(A)+P(B|{A}^{c})•P({A}^{c})}$=$\frac{99%×0.1%}{0.01098}≈9%$，
所以在医院给出的检测结果为阳性的条件下这个人得病的概率为9%．
故选：C．
则P(A)=0.1%，P(B|A)=99%，
P(B|A)•P(A)+P(B|Ac)•P(Ac)=0.01098，
所以P(A|B)=$\frac{P(B|A)•P(A)}{P(B|A)•P(A)+P(B|{A}^{c})•P({A}^{c})}$=$\frac{99%×0.1%}{0.01098}≈9%$，
所以在医院给出的检测结果为阳性的条件下这个人得病的概率为9%．
故选：C．
解析
步骤 1：定义事件
记一个人得病为事件A，检测结果为阳性为事件B。
步骤 2：确定概率
已知P(A)=0.1%，P(B|A)=99%，P(B|A)•P(A)+P(B|A^{c})•P(A^{c})=0.01098。
步骤 3：应用贝叶斯公式
根据贝叶斯公式，P(A|B)=$\frac{P(B|A)•P(A)}{P(B|A)•P(A)+P(B|{A}^{c})•P({A}^{c})}$。
步骤 4：计算得病概率
将已知值代入公式，计算得P(A|B)=$\frac{99%×0.1%}{0.01098}≈9%$。
记一个人得病为事件A，检测结果为阳性为事件B。
步骤 2：确定概率
已知P(A)=0.1%，P(B|A)=99%，P(B|A)•P(A)+P(B|A^{c})•P(A^{c})=0.01098。
步骤 3：应用贝叶斯公式
根据贝叶斯公式，P(A|B)=$\frac{P(B|A)•P(A)}{P(B|A)•P(A)+P(B|{A}^{c})•P({A}^{c})}$。
步骤 4：计算得病概率
将已知值代入公式，计算得P(A|B)=$\frac{99%×0.1%}{0.01098}≈9%$。