题目
4.设总体 sim N(mu ,(sigma )^2) ,X1,X2,···,X10是来自X的样本.-|||-(1)写出X1,X2,···,X 10的联合概率密度;-|||-(2)写出X的概率密度.
题目解答
答案
解析
步骤 1：写出单个样本的概率密度函数
由于 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则每个样本 $X_i$ 的概率密度函数为：
\[ f_{X_i}(x_i) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x_i - \mu)^2}{2\sigma^2}} \]
步骤 2：写出联合概率密度函数
由于 $X_1, X_2, \cdots, X_{10}$ 是独立同分布的样本，因此它们的联合概率密度函数为各个样本概率密度函数的乘积：
\[ f_{X_1, X_2, \cdots, X_{10}}(x_1, x_2, \cdots, x_{10}) = \prod_{i=1}^{10} f_{X_i}(x_i) = \left( \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \right)^{10} e^{-\frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^{10} (x_i - \mu)^2} \]
步骤 3：写出样本均值的概率密度函数
样本均值 $\overline{X} = \frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} X_i$ 也服从正态分布，其均值为 $\mu$，方差为 $\frac{\sigma^2}{10}$，因此 $\overline{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{10})$。则 $\overline{X}$ 的概率密度函数为：
\[ f_{\overline{X}}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \frac{\sigma^2}{10}}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2 \frac{\sigma^2}{10}}} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} e^{-\frac{5(x - \mu)^2}{\sigma^2}} \]
由于 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则每个样本 $X_i$ 的概率密度函数为：
\[ f_{X_i}(x_i) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x_i - \mu)^2}{2\sigma^2}} \]
步骤 2：写出联合概率密度函数
由于 $X_1, X_2, \cdots, X_{10}$ 是独立同分布的样本，因此它们的联合概率密度函数为各个样本概率密度函数的乘积：
\[ f_{X_1, X_2, \cdots, X_{10}}(x_1, x_2, \cdots, x_{10}) = \prod_{i=1}^{10} f_{X_i}(x_i) = \left( \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \right)^{10} e^{-\frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^{10} (x_i - \mu)^2} \]
步骤 3：写出样本均值的概率密度函数
样本均值 $\overline{X} = \frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} X_i$ 也服从正态分布，其均值为 $\mu$，方差为 $\frac{\sigma^2}{10}$，因此 $\overline{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{10})$。则 $\overline{X}$ 的概率密度函数为：
\[ f_{\overline{X}}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \frac{\sigma^2}{10}}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2 \frac{\sigma^2}{10}}} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} e^{-\frac{5(x - \mu)^2}{\sigma^2}} \]