题目

若 X sim N(2, sigma^2)，则 P(X < 2) = ____（用小数形式）

若 $X \sim N(2, \sigma^2)$，则 $P(X < 2) = \_\_\_\_$（用小数形式）

题目解答

答案

由于 $X \sim N(2, \sigma^2)$，均值为 2，正态分布关于均值对称。因此，随机变量 $X$ 小于均值 2 的概率等于大于均值 2 的概率，即 $P(X < 2) = 0.5$。
或者，通过标准化 $Z = \frac{X - 2}{\sigma}$，$Z$ 服从标准正态分布 $N(0, 1)$，当 $X = 2$ 时，$Z = 0$，而 $P(Z < 0) = 0.5$。

答案： $\boxed{0.5}$

解析

本题考查正态分布的性质及标准化变换的知识。解题思路如下：

  • 利用正态分布的对称性：
    • 对于正态分布$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，其概率密度函数的图像是关于均值$\mu$对称的。
    • 已知$X\sim N(2,\sigma^{2})$，这里均值$\mu = 2$。根据正态分布的对称性可知，随机变量$X$小于均值$2$的概率与$X$大于均值$2$的概率是相等的。
    • 又因为整个概率空间的概率总和为$1$，即$P(X\lt 2)+P(X\gt 2)=1$，且$P(X\lt 2)=P(X\gt 2)$，所以可得$2P(X\lt 2)=1$，解得$P(X\lt 2)=\frac{1}{2}=0.5$。
  • 通过标准化变换求解：
    • 若$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，则可进行标准化变换$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$，此时$Z\sim N(0,1)$，即$Z$服从标准正态分布。
    • 已知$X\sim N(2,\sigma^{2})$，那么$Z=\frac{X - 2}{\sigma}\sim N(0,1)$。
    • 当$X = 2$时，$Z=\frac{2 - 2}{\sigma}=0$。
    • 对于标准正态分布$N(0,1)$，其概率密度函数的图像关于$z = 0$对称，所以$P(Z\lt 0)=0.5$，而$P(X\lt 2)=P\left(Z\lt\frac{2 - 2}{\sigma}\right)=P(Z\lt 0)$，故$P(X\lt 2)=0.5$。