题目
已知一本320页的书中每页排版错误的字数服从lambda=0.2的泊松分布，已知Phi(2)=0.9772，则这本书排版错误总字数不多于80的概率的近似值为(）.A. 0.9772B. 0.1587C. 0.8413
已知一本320页的书中每页排版错误的字数服从$\lambda=0.2$的泊松分布，已知$\Phi(2)=0.9772$，则这本书排版错误总字数不多于80的概率的近似值为(）.
A. 0.9772
B. 0.1587
C. 0.8413
题目解答
答案
A. 0.9772
解析
步骤 1：确定每页排版错误字数的期望和方差
每页排版错误字数服从参数为 $\lambda = 0.2$ 的泊松分布，因此每页排版错误字数的期望 $E(X)$ 和方差 $D(X)$ 都等于 $\lambda = 0.2$。
步骤 2：计算总排版错误字数的期望和方差
设 $X_i$ 表示第 $i$ 页的排版错误字数，那么 $X_i \sim \text{Poisson}(0.2)$。这本书的总排版错误字数 $S$ 可以表示为：\[ S = X_1 + X_2 + \cdots + X_{320} \] 由于 $X_i$ 是独立同分布的随机变量，根据泊松分布的可加性，$S$ 服从参数为 $320 \times 0.2 = 64$ 的泊松分布，即 $S \sim \text{Poisson}(64)$。
步骤 3：使用正态分布近似泊松分布
当 $\lambda$ 较大时，泊松分布可以近似为正态分布 $N(\lambda, \lambda)$。因此，$S$ 可以近似为 $N(64, 64)$。
步骤 4：计算 $S$ 不多于80的概率
我们要求的是 $S$ 不多于80的概率，即 $P(S \leq 80)$。为了使用正态分布表，我们需要将 $S$ 标准化。设 $Z = \frac{S - 64}{\sqrt{64}} = \frac{S - 64}{8}$，则 $Z$ 服从标准正态分布 $N(0, 1)$。于是，$P(S \leq 80)$ 可以转化为：\[ P(S \leq 80) = P\left( \frac{S - 64}{8} \leq \frac{80 - 64}{8} \right) = P(Z \leq 2) \] 根据标准正态分布表，$P(Z \leq 2) = \Phi(2)$。已知 $\Phi(2) = 0.9772$，因此：\[ P(S \leq 80) \approx 0.9772 \]
每页排版错误字数服从参数为 $\lambda = 0.2$ 的泊松分布，因此每页排版错误字数的期望 $E(X)$ 和方差 $D(X)$ 都等于 $\lambda = 0.2$。
步骤 2：计算总排版错误字数的期望和方差
设 $X_i$ 表示第 $i$ 页的排版错误字数，那么 $X_i \sim \text{Poisson}(0.2)$。这本书的总排版错误字数 $S$ 可以表示为：\[ S = X_1 + X_2 + \cdots + X_{320} \] 由于 $X_i$ 是独立同分布的随机变量，根据泊松分布的可加性，$S$ 服从参数为 $320 \times 0.2 = 64$ 的泊松分布，即 $S \sim \text{Poisson}(64)$。
步骤 3：使用正态分布近似泊松分布
当 $\lambda$ 较大时，泊松分布可以近似为正态分布 $N(\lambda, \lambda)$。因此，$S$ 可以近似为 $N(64, 64)$。
步骤 4：计算 $S$ 不多于80的概率
我们要求的是 $S$ 不多于80的概率，即 $P(S \leq 80)$。为了使用正态分布表，我们需要将 $S$ 标准化。设 $Z = \frac{S - 64}{\sqrt{64}} = \frac{S - 64}{8}$，则 $Z$ 服从标准正态分布 $N(0, 1)$。于是，$P(S \leq 80)$ 可以转化为：\[ P(S \leq 80) = P\left( \frac{S - 64}{8} \leq \frac{80 - 64}{8} \right) = P(Z \leq 2) \] 根据标准正态分布表，$P(Z \leq 2) = \Phi(2)$。已知 $\Phi(2) = 0.9772$，因此：\[ P(S \leq 80) \approx 0.9772 \]