题目
42.（判断题，2.0分）方程x^2y^primeprime+xy^prime=1的通解为y=(1)/(2)ln^2x+C_(1)ln x+C_(2)。()A. 对B. 错
42.（判断题，2.0分）
方程$x^{2}y^{\prime\prime}+xy^{\prime}=1$的通解为$y=\frac{1}{2}\ln^{2}x+C_{1}\ln x+C_{2}$。()
A. 对
B. 错
题目解答
答案
A. 对
解析
步骤 1：将方程重写为标准形式
将原方程 $x^{2}y^{\prime\prime}+xy^{\prime}=1$ 重写为 $y^{\prime\prime} + \frac{1}{x}y^{\prime} = \frac{1}{x^2}$，这是一个二阶线性非齐次微分方程。
步骤 2：引入变量 $u = y^{\prime}$
令 $u = y^{\prime}$，则原方程变为 $u^{\prime} + \frac{1}{x}u = \frac{1}{x^2}$，这是一个一阶线性非齐次微分方程。
步骤 3：求解一阶线性微分方程
求解 $u^{\prime} + \frac{1}{x}u = \frac{1}{x^2}$，使用积分因子法，积分因子为 $e^{\int \frac{1}{x} dx} = x$，则方程变为 $(xu)^{\prime} = 1$，积分得 $xu = x + C_1$，即 $u = \frac{\ln x + C_1}{x}$。
步骤 4：求解 $y$
由 $u = y^{\prime} = \frac{\ln x + C_1}{x}$，对 $y^{\prime}$ 积分得 $y = \frac{1}{2}\ln^2 x + C_1 \ln x + C_2$。
将原方程 $x^{2}y^{\prime\prime}+xy^{\prime}=1$ 重写为 $y^{\prime\prime} + \frac{1}{x}y^{\prime} = \frac{1}{x^2}$，这是一个二阶线性非齐次微分方程。
步骤 2：引入变量 $u = y^{\prime}$
令 $u = y^{\prime}$，则原方程变为 $u^{\prime} + \frac{1}{x}u = \frac{1}{x^2}$，这是一个一阶线性非齐次微分方程。
步骤 3：求解一阶线性微分方程
求解 $u^{\prime} + \frac{1}{x}u = \frac{1}{x^2}$，使用积分因子法，积分因子为 $e^{\int \frac{1}{x} dx} = x$，则方程变为 $(xu)^{\prime} = 1$，积分得 $xu = x + C_1$，即 $u = \frac{\ln x + C_1}{x}$。
步骤 4：求解 $y$
由 $u = y^{\prime} = \frac{\ln x + C_1}{x}$，对 $y^{\prime}$ 积分得 $y = \frac{1}{2}\ln^2 x + C_1 \ln x + C_2$。