题目

7. 证明：函数y=(1)/(x)sin(1)/(x)在区间(0,1]内无界，但这函数不是x→0+时的无穷大.

7. 证明：函数$y=\frac{1}{x}\sin\frac{1}{x}$在区间(0,1]内无界，但这函数不是x→0+时的无穷大.

题目解答

答案

**证明：** 1. **无界性：** 对于任意 $ M > 0 $，取 $ x_n = \frac{1}{2n\pi + \frac{\pi}{2}} $（$ n \in \mathbb{N}^+ $），则 \[ \frac{1}{x_n} \sin \frac{1}{x_n} = \left(2n\pi + \frac{\pi}{2}\right) \sin\left(2n\pi + \frac{\pi}{2}\right) = 2n\pi + \frac{\pi}{2} \to +\infty \text{（随 } n \to \infty\text{）}. \] 故存在 $ x_n \in (0,1] $ 使 $ \left| \frac{1}{x_n} \sin \frac{1}{x_n} \right| > M $，函数无界。 2. **非无穷大：** 对于任意 $ M > 0 $，取 $ x_m = \frac{1}{2m\pi} $（$ m \in \mathbb{N}^+ $），则 \[ \frac{1}{x_m} \sin \frac{1}{x_m} = 2m\pi \sin(2m\pi) = 0. \] 故存在 $ x_m \in (0,1] $ 使 $ \left| \frac{1}{x_m} \sin \frac{1}{x_m} \right| = 0 < M $，函数不是 $ x \to 0^+ $ 时的无穷大。 **答案：** 函数 $ y = \frac{1}{x} \sin \frac{1}{x} $ 在区间 $ (0,1] $ 内无界，但不是 $ x \to 0^+ $ 时的无穷大。

解析

考查要点：本题主要考查函数在区间内的无界性与无穷大的区别，需要理解两者定义的不同。

解题核心思路：

无界性：需证明存在函数值可以任意大，但不要求所有趋近路径下的极限都趋于无穷大。
非无穷大：需说明存在某些趋近路径使得函数值不趋于无穷大（如趋于0或其他有限值）。

破题关键点：

构造特定序列：通过选择不同的$x$序列，分别使函数值趋于无穷大（证明无界）和趋于0（证明非无穷大）。
区分概念：无界关注局部存在大值，无穷大要求所有趋近路径均发散。

1. 证明函数在$(0,1]$内无界

步骤1：构造发散序列
取$x_n = \frac{1}{2n\pi + \frac{\pi}{2}}$（$n \in \mathbb{N}^+$），此时$\frac{1}{x_n} = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$，且$\sin\left(2n\pi + \frac{\pi}{2}\right) = 1$。

步骤2：计算函数值
代入函数得：
$\frac{1}{x_n} \sin\frac{1}{x_n} = \left(2n\pi + \frac{\pi}{2}\right) \cdot 1 = 2n\pi + \frac{\pi}{2}.$

步骤3：分析趋势
当$n \to \infty$时，$2n\pi + \frac{\pi}{2} \to +\infty$，即函数值可任意大。因此，对任意$M > 0$，存在$x_n \in (0,1]$使$\left|\frac{1}{x_n} \sin\frac{1}{x_n}\right| > M$，函数无界。

2. 证明函数不是$x \to 0^+$时的无穷大

步骤1：构造趋于0的序列
取$x_m = \frac{1}{2m\pi}$（$m \in \mathbb{N}^+$），此时$\frac{1}{x_m} = 2m\pi$，且$\sin(2m\pi) = 0$。

步骤2：计算函数值
代入函数得：
$\frac{1}{x_m} \sin\frac{1}{x_m} = 2m\pi \cdot 0 = 0.$

步骤3：分析趋势
无论$M$多大，总存在$x_m \in (0,1]$使$\left|\frac{1}{x_m} \sin\frac{1}{x_m}\right| = 0 < M$，说明函数在$x \to 0^+$时不是无穷大。