题目
15.填空题（4分）设矩阵A=(}1&2-3&6)，则a=underline(输入答案)，b=underline(输入答案)，c=underline(输入答案)，d=underline(输入答案)
15.填空题（4分）
设矩阵$A=\left(\begin{matrix}1&2\\-3&6\end{matrix}\right)$，A的伴随矩阵$A^{*}=\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)$，
则a=$\underline{输入答案}$，b=$\underline{输入答案}$，c=$\underline{输入答案}$，d=$\underline{输入答案}$
题目解答
答案
矩阵 $ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -3 & 6 \end{pmatrix} $ 的伴随矩阵 $ A^* $ 可以通过余子式矩阵的转置得到。
- 计算余子式：
$ C_{11} = 6 $，$ C_{12} = -3 $，$ C_{21} = 2 $，$ C_{22} = 1 $。 - 计算代数余子式：
$ A_{11} = 6 $，$ A_{12} = 3 $，$ A_{21} = -2 $，$ A_{22} = 1 $。 - 形成伴随矩阵：
$ A^* = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} \\ A_{12} & A_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & -2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} $。
答案：
$a = 6$，$b = -2$，$c = 3$，$d = 1$
$\boxed{6, -2, 3, 1}$
解析
本题考查矩阵伴随矩阵的计算。解题思路是先明确伴随矩阵的定义，即矩阵$A$的伴随矩阵$A^*$是由$A$的代数余子式组成的矩阵的转置。然后分别计算矩阵$A$中每个元素的代数余子式，最后根据伴随矩阵的构成规则得到$A^*$。
设矩阵$A = \begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}$，对于二阶矩阵，其代数余子式的计算公式为：
- $A_{ij}=(-1)^{i + j}M_{ij}$，其中$M_{ij}$是元素$a_{ij}$的余子式，即划去$a_{ij}$所在的第$i$行和第$j$列后剩下的元素构成的行列式。
对于矩阵$A=\begin{pmatrix}1&2\\-3&6\end{pmatrix}$：
- 计算$A_{11}$：
- 先求$M_{11}$，划去$a_{11}=1$所在的第一行和第一列，得到$M_{11}=\begin{vmatrix}6\end{vmatrix}=6$。
- 再根据代数余子式公式$A_{11}=(-1)^{1 + 1}M_{11}=(-1)^2\times6 = 6$。
- 计算$A_{12}$：
- 求$M_{12}$，划去$a_{12}=2$所在的第一行和第二列，得到$M_{12}=\begin{vmatrix}-3\end{vmatrix}=-3$。
- 则$A_{12}=(-1)^{1 + 2}M_{12}=(-1)^3\times(-3)=3$。
- 计算$A_{21}$：
- 求$M_{21}$，划去$a_{21}=-3$所在的第二行和第一列，得到$M_{21}=\begin{vmatrix}2\end{vmatrix}=2$。
- 所以$A_{21}=(-1)^{2 + 1}M_{21}=(-1)^3\times2=-2$。
- 计算$A_{22}$：
- 求$M_{22}$，划去$a_{22}=6$所在的第二行和第二列，得到$M_{22}=\begin{vmatrix}1\end{vmatrix}=1$。
- 那么$A_{22}=(-1)^{2 + 2}M_{22}=(-1)^4\times1 = 1$。
根据伴随矩阵的定义，二阶矩阵$A$的伴随矩阵$A^*=\begin{pmatrix}A_{11}&A_{21}\\A_{12}&A_{22}\end{pmatrix}$，将上面计算得到的代数余子式代入可得$A^*=\begin{pmatrix}6&-2\\3&1\end{pmatrix}$。
因为$A^{*}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$，所以$a = 6$，$b = -2$，$c = 3$，$d = 1$。