题目

1.lim_(xto0)((arcsin x)/(x))^(1)/(sin^(2)x)=____.

1.$\lim_{x\to0}\left(\frac{\arcsin x}{x}\right)^{\frac{1}{\sin^{2}x}}=$____.

题目解答

答案

将原式重写为指数形式： \[ \lim_{x \to 0} \left( \frac{\arcsin x}{x} \right)^{\frac{1}{\sin^2 x}} = \lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{\sin^2 x} \ln \left( \frac{\arcsin x}{x} \right)}. \] 利用泰勒展开，当 $x \to 0$ 时，$\arcsin x \sim x + \frac{x^3}{6}$，故 \[ \frac{\arcsin x}{x} \sim 1 + \frac{x^2}{6}. \] 取对数得 \[ \ln \left( \frac{\arcsin x}{x} \right) \sim \ln \left( 1 + \frac{x^2}{6} \right) \sim \frac{x^2}{6}. \] 因此， \[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln \left( \frac{\arcsin x}{x} \right)}{\sin^2 x} \sim \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{6}}{x^2} = \frac{1}{6}. \] 原极限为 \[ e^{\frac{1}{6}}. \] **答案：** $\boxed{e^{\frac{1}{6}}}$

解析

考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是涉及指数函数与对数函数的复合形式，需要灵活运用泰勒展开和等价无穷小替换进行化简。

解题核心思路：

指数形式转换：将原式转化为自然指数形式，利用$\lim_{x \to 0} e^{f(x)} = e^{\lim_{x \to 0} f(x)}$简化计算。
泰勒展开：对$\arcsin x$和$\ln(1+x)$进行泰勒展开，保留主要项，忽略高阶无穷小。
等价无穷小替换：将$\sin^2 x$替换为$x^2$，简化分母表达式。

破题关键点：

识别指数结构：当底数趋近于1且指数趋近于无穷大时，优先考虑取对数转化为乘积形式。
展开精度控制：确保泰勒展开的项数足够保留有效部分，避免遗漏关键项。

将原式改写为指数形式：
$\lim_{x \to 0} \left( \frac{\arcsin x}{x} \right)^{\frac{1}{\sin^2 x}} = \lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{\sin^2 x} \ln \left( \frac{\arcsin x}{x} \right)}.$

步骤1：展开$\arcsin x$
当$x \to 0$时，$\arcsin x$的泰勒展开为：
$\arcsin x = x + \frac{x^3}{6} + o(x^3).$
因此，
$\frac{\arcsin x}{x} = 1 + \frac{x^2}{6} + o(x^2).$

步骤2：取对数并展开
对$\ln\left(1 + \frac{x^2}{6}\right)$展开：
$\ln\left(1 + \frac{x^2}{6}\right) = \frac{x^2}{6} - \frac{1}{2}\left(\frac{x^2}{6}\right)^2 + o(x^4) \approx \frac{x^2}{6}.$

步骤3：化简指数部分
将$\sin^2 x$替换为$x^2$（等价无穷小）：
$\frac{\ln\left(\frac{\arcsin x}{x}\right)}{\sin^2 x} \approx \frac{\frac{x^2}{6}}{x^2} = \frac{1}{6}.$

步骤4：求极限
原式指数部分的极限为$\frac{1}{6}$，因此：
$\lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{\sin^2 x} \ln \left( \frac{\arcsin x}{x} \right)} = e^{\frac{1}{6}}.$