题目
用电阻率为ρ(常量)的金属制成一根长度为l、内外半径分别为R1和R2的导体管，求下列三种情况下管子的电阻： (1)电流沿长度方向流过;-|||-(2)电流沿径向流过;-|||-(3)把管子切去一半(如附图),电流沿图示方向流过。
用电阻率为ρ(常量)的金属制成一根长度为l、内外半径分别为R1和R2的导体管，求下列三种情况下管子的电阻：
题目解答
答案
解析
步骤 1：电流沿长度方向流过
电流沿长度方向流过时，导体管的电阻可以看作是一个均匀的圆柱体，其电阻计算公式为 $R = \rho \dfrac{l}{A}$，其中 $A$ 是导体管的横截面积。对于一个空心圆柱体，横截面积 $A = \pi (R_2^2 - R_1^2)$，因此电阻为 $R = \rho \dfrac{l}{\pi (R_2^2 - R_1^2)}$。
步骤 2：电流沿径向流过
电流沿径向流过时，导体管的电阻需要考虑电流在不同半径处的分布。由于电流密度与半径成反比，电阻的计算需要积分。电阻 $R = \int dR = \int_{R_1}^{R_2} \dfrac{\rho dr}{2\pi rl} = \dfrac{\rho}{2\pi l} \ln \dfrac{R_2}{R_1}$。
步骤 3：把管子切去一半，电流沿图示方向流过
当管子被切去一半时，电流沿图示方向流过，需要考虑电流在不同半径处的分布。对于离轴线为 $r$，厚度为 $dr$ 的薄半圆片，其电阻为 $dR = \dfrac{\rho \pi r}{ldr}$。由于各电阻不一样，各电阻上的电流分布也不一样，各段电阻相当于并联，因此有 $\dfrac{1}{R} = \int \dfrac{1}{dR} = \int_{R_1}^{R_2} \dfrac{ldr}{\rho \pi r} = \dfrac{1}{\rho \pi} \ln \dfrac{R_2}{R_1}$，从而得到 $R = \dfrac{\rho \pi}{l} \ln \dfrac{R_2}{R_1}$。
电流沿长度方向流过时，导体管的电阻可以看作是一个均匀的圆柱体，其电阻计算公式为 $R = \rho \dfrac{l}{A}$，其中 $A$ 是导体管的横截面积。对于一个空心圆柱体，横截面积 $A = \pi (R_2^2 - R_1^2)$，因此电阻为 $R = \rho \dfrac{l}{\pi (R_2^2 - R_1^2)}$。
步骤 2：电流沿径向流过
电流沿径向流过时，导体管的电阻需要考虑电流在不同半径处的分布。由于电流密度与半径成反比，电阻的计算需要积分。电阻 $R = \int dR = \int_{R_1}^{R_2} \dfrac{\rho dr}{2\pi rl} = \dfrac{\rho}{2\pi l} \ln \dfrac{R_2}{R_1}$。
步骤 3：把管子切去一半，电流沿图示方向流过
当管子被切去一半时，电流沿图示方向流过，需要考虑电流在不同半径处的分布。对于离轴线为 $r$，厚度为 $dr$ 的薄半圆片，其电阻为 $dR = \dfrac{\rho \pi r}{ldr}$。由于各电阻不一样，各电阻上的电流分布也不一样，各段电阻相当于并联，因此有 $\dfrac{1}{R} = \int \dfrac{1}{dR} = \int_{R_1}^{R_2} \dfrac{ldr}{\rho \pi r} = \dfrac{1}{\rho \pi} \ln \dfrac{R_2}{R_1}$，从而得到 $R = \dfrac{\rho \pi}{l} \ln \dfrac{R_2}{R_1}$。