题目
1.设随机变量X服从参数为2的泊松分布，Y=3X-2，试求E(Y),D(Y),Cov(X,Y)及ρ_(XY).
1.设随机变量X服从参数为2的泊松分布，Y=3X-2，试求E(Y),D(Y),Cov(X,Y)及$ρ_{XY}$.
题目解答
答案
已知 $X$ 服从参数为 2 的泊松分布，有 $E(X) = 2$，$D(X) = 2$。设 $Y = 3X - 2$，则：
1. **期望**：
$E(Y) = E(3X - 2) = 3E(X) - 2 = 3 \times 2 - 2 = 4$。
2. **方差**：
$D(Y) = D(3X - 2) = 9D(X) = 9 \times 2 = 18$。
3. **协方差**：
$\text{Cov}(X, Y) = \text{Cov}(X, 3X - 2) = 3D(X) = 3 \times 2 = 6$。
4. **相关系数**：
$\rho_{XY} = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sqrt{D(X)} \sqrt{D(Y)}} = \frac{6}{\sqrt{2} \times \sqrt{18}} = 1$。
**答案**：
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
E(Y) = 4, \\
D(Y) = 18, \\
\text{Cov}(X, Y) = 6, \\
\rho_{XY} = 1.
\end{array}
}
\]
解析
步骤 1：计算E(Y)
由于 $X$ 服从参数为 2 的泊松分布，有 $E(X) = 2$。根据线性性质，$E(Y) = E(3X - 2) = 3E(X) - 2 = 3 \times 2 - 2 = 4$。
步骤 2：计算D(Y)
由于 $X$ 服从参数为 2 的泊松分布，有 $D(X) = 2$。根据方差的性质，$D(Y) = D(3X - 2) = 9D(X) = 9 \times 2 = 18$。
步骤 3：计算Cov(X,Y)
根据协方差的性质，$\text{Cov}(X, Y) = \text{Cov}(X, 3X - 2) = 3D(X) = 3 \times 2 = 6$。
步骤 4：计算$ρ_{XY}$
根据相关系数的定义，$\rho_{XY} = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sqrt{D(X)} \sqrt{D(Y)}} = \frac{6}{\sqrt{2} \times \sqrt{18}} = 1$。
由于 $X$ 服从参数为 2 的泊松分布，有 $E(X) = 2$。根据线性性质，$E(Y) = E(3X - 2) = 3E(X) - 2 = 3 \times 2 - 2 = 4$。
步骤 2：计算D(Y)
由于 $X$ 服从参数为 2 的泊松分布，有 $D(X) = 2$。根据方差的性质，$D(Y) = D(3X - 2) = 9D(X) = 9 \times 2 = 18$。
步骤 3：计算Cov(X,Y)
根据协方差的性质，$\text{Cov}(X, Y) = \text{Cov}(X, 3X - 2) = 3D(X) = 3 \times 2 = 6$。
步骤 4：计算$ρ_{XY}$
根据相关系数的定义，$\rho_{XY} = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sqrt{D(X)} \sqrt{D(Y)}} = \frac{6}{\sqrt{2} \times \sqrt{18}} = 1$。