对于任意两个随机变量 X 和Y, 若E(XY)=E(X)E(Y) , 则( )A. D(XY)=D(X)D(Y)B. X和Y独立C. D(X+Y)=D(X)+D(Y)D. X和Y不独立

考查要点：本题主要考查随机变量的协方差、方差性质以及独立性的关系。
解题核心：

1. 协方差为零（即$E(XY)=E(X)E(Y)$）仅说明随机变量$X$和$Y$不相关，但不能推出独立性。
2. 方差的性质：$D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2\text{Cov}(X,Y)$。当$\text{Cov}(X,Y)=0$时，方差可加。
   关键点：

• 独立性是更严格的条件，协方差为零仅是必要条件而非充分条件。
• 方差可加性在协方差为零时成立，但乘积的方差需独立时才成立。

选项分析

选项B和D（独立性相关）

• 独立性要求联合分布满足$P(X,Y)=P(X)P(Y)$，而协方差为零仅说明线性无关，可能存在非线性关系。
• 反例：设$X$服从对称分布，$Y=X^2$，此时$\text{Cov}(X,Y)=0$，但$X$和$Y$显然不独立。
• 结论：B和D均错误。

选项A（乘积方差）

• 若$X$和$Y$独立，则$D(XY)=D(X)D(Y)$成立。但题目中仅给出不相关，不保证独立。
• 反例：设$X$和$Y$不相关但不独立，此时$D(XY) \neq D(X)D(Y)$。
• 结论：A错误。

选项C（和的方差）

• 根据方差性质：
  $D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2\text{Cov}(X,Y).$
• 当$\text{Cov}(X,Y)=0$时，上式简化为$D(X+Y)=D(X)+D(Y)$。
• 结论：C正确。