题目
3.若随机变量X,Y满足D(X+Y)=D(X-Y),则一定有( ). (A.) X与Y相互独立 (B.) X与Y不相关 (C.) D(Y)=0 (D) D(X)D.(Y)=0
3.若随机变量X,Y满足D(X+Y)=D(X-Y),则一定有( ). (
A.) X与Y相互独立 (
B.) X与Y不相关 (
C.) D(Y)=0 (D) D(X)
D.(Y)=0
A.) X与Y相互独立 (
B.) X与Y不相关 (
C.) D(Y)=0 (D) D(X)
D.(Y)=0
题目解答
答案
根据方差性质，有：
\[
D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2\text{Cov}(X,Y)
\]
\[
D(X-Y) = D(X) + D(Y) - 2\text{Cov}(X,Y)
\]
由题设 $D(X+Y) = D(X-Y)$，得：
\[
4\text{Cov}(X,Y) = 0 \implies \text{Cov}(X,Y) = 0
\]
协方差为零表示 $X$ 与 $Y$ 不相关，但不一定独立。选项分析如下：
- (A) 独立（协方差为零不保证独立）
- (B) 不相关（符合题意）
- (C) $D(Y)=0$（无法推导）
- (D) $D(X)D(Y)=0$（无法推导）
**答案：** $\boxed{B}$
解析
考查要点：本题主要考查随机变量方差的性质，特别是协方差在方差运算中的作用，以及协方差与相关性的关系。
解题核心思路：
- 方差展开：利用方差的性质，将$D(X+Y)$和$D(X-Y)$展开为方差与协方差的组合形式。
- 等式联立：根据题目条件$D(X+Y)=D(X-Y)$，联立方程消去相同项，得到关于协方差的方程。
- 协方差与相关性：通过协方差为零推导出随机变量不相关，但需注意协方差为零与独立性的区别。
破题关键点：
- 协方差为零是解题的核心结论，直接对应选项B。
- 排除干扰项：需明确协方差为零仅说明不相关，不能推出独立或方差为零等其他结论。
根据方差的性质，展开$D(X+Y)$和$D(X-Y)$：
$\begin{aligned}D(X+Y) &= D(X) + D(Y) + 2\text{Cov}(X,Y), \\D(X-Y) &= D(X) + D(Y) - 2\text{Cov}(X,Y).\end{aligned}$
由题设$D(X+Y) = D(X-Y)$，联立得：
$D(X) + D(Y) + 2\text{Cov}(X,Y) = D(X) + D(Y) - 2\text{Cov}(X,Y).$
消去相同项后，得到：
$4\text{Cov}(X,Y) = 0 \implies \text{Cov}(X,Y) = 0.$
协方差为零说明$X$与$Y$不相关（选项B）。
- 选项A：协方差为零仅说明不相关，不能推出独立（独立一定不相关，但反之不成立）。
- 选项C、D：无法通过方差等式推导出$D(Y)=0$或$D(X)D(Y)=0$。