【题目】8.2一种元件,要求其使用寿命不得低于700小时。现从一批这种元件中随机抽取36件,测得其平均寿命为680小时。已知该元件寿命服从正态分布,σ=60 小时,试在显著性水平0.05下确定这批元件是否合格。

考查要点：本题主要考查假设检验的基本应用，特别是左侧检验的判断方法。需要掌握如何根据题意建立原假设与备择假设，并正确计算检验统计量，结合临界值或p值作出决策。

解题核心思路：

1. 明确检验方向：题目要求“使用寿命不得低于700小时”，因此需检验实际平均寿命是否显著低于700小时，属于左侧检验。
2. 选择检验统计量：总体方差已知且样本量较大（n=36），适用Z检验。
3. 计算检验统计量：通过公式 $Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$ 得出结果。
4. 比较临界值或p值：判断统计量是否落在拒绝域，从而决定是否拒绝原假设。

破题关键点：

• 正确设定原假设与备择假设：$H_0: \mu \geq 700$，$H_1: \mu < 700$。
• 左侧检验的临界值：$\alpha = 0.05$ 对应的临界值为 $-1.65$。

建立假设

• 原假设：$H_0: \mu \geq 700$（元件合格，寿命不低于700小时）
• 备择假设：$H_1: \mu < 700$（元件不合格，寿命低于700小时）

计算检验统计量

根据公式：
$Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{680 - 700}{60 / \sqrt{36}} = \frac{-20}{10} = -2$

确定临界值与拒绝域

左侧检验的临界值为 $Z_{0.05} = -1.65$，拒绝域为 $Z \leq -1.65$。

作出决策

计算得 $Z = -2$，小于临界值 $-1.65$，因此拒绝原假设，认为元件平均寿命显著低于700小时。