题目
8.判断题overline(X)=(1)/(n)sum_(i=1)^nX_(i)是所有形如sum_(i=1)^nC_(i)X_(i)(sum_(i=1)^nC_(i)=1)的μ无偏估计量中最有效的.A. 对B. 错
8.判断题
$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}$是所有形如$\sum_{i=1}^{n}C_{i}X_{i}(\sum_{i=1}^{n}C_{i}=1)$的μ无偏估计量中最有效的.
A. 对
B. 错
题目解答
答案
A. 对
解析
步骤 1：定义无偏估计量
无偏估计量是指估计量的期望值等于被估计参数的真实值。对于样本均值 $\overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}$，其期望值为 $\mu$，即 $E(\overline{X}) = \mu$，因此 $\overline{X}$ 是 $\mu$ 的无偏估计量。
步骤 2：计算估计量的方差
对于估计量 $T = \sum_{i=1}^{n} C_i X_i$（其中 $\sum_{i=1}^{n} C_i = 1$），其方差为： \[ \text{Var}(T) = \sigma^2 \sum_{i=1}^{n} C_i^2 \] 其中 $\sigma^2$ 是 $X_i$ 的方差。
步骤 3：利用柯西-施瓦茨不等式
利用柯西-施瓦茨不等式，可得： \[ \left(\sum_{i=1}^{n} C_i\right)^2 \leq n \sum_{i=1}^{n} C_i^2 \] 由于 $\sum_{i=1}^{n} C_i = 1$，则有： \[ 1 \leq n \sum_{i=1}^{n} C_i^2 \] 即： \[ \sum_{i=1}^{n} C_i^2 \geq \frac{1}{n} \] 当且仅当 $C_i = \frac{1}{n}$ 时，等号成立，此时 $\sum_{i=1}^{n} C_i^2$ 取最小值 $\frac{1}{n}$。
步骤 4：确定最有效的无偏估计量
当 $C_i = \frac{1}{n}$ 时，$T = \overline{X}$，方差为 $\frac{\sigma^2}{n}$，为最小。因此，$\overline{X}$ 是最有效的无偏估计量。
无偏估计量是指估计量的期望值等于被估计参数的真实值。对于样本均值 $\overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}$，其期望值为 $\mu$，即 $E(\overline{X}) = \mu$，因此 $\overline{X}$ 是 $\mu$ 的无偏估计量。
步骤 2：计算估计量的方差
对于估计量 $T = \sum_{i=1}^{n} C_i X_i$（其中 $\sum_{i=1}^{n} C_i = 1$），其方差为： \[ \text{Var}(T) = \sigma^2 \sum_{i=1}^{n} C_i^2 \] 其中 $\sigma^2$ 是 $X_i$ 的方差。
步骤 3：利用柯西-施瓦茨不等式
利用柯西-施瓦茨不等式，可得： \[ \left(\sum_{i=1}^{n} C_i\right)^2 \leq n \sum_{i=1}^{n} C_i^2 \] 由于 $\sum_{i=1}^{n} C_i = 1$，则有： \[ 1 \leq n \sum_{i=1}^{n} C_i^2 \] 即： \[ \sum_{i=1}^{n} C_i^2 \geq \frac{1}{n} \] 当且仅当 $C_i = \frac{1}{n}$ 时，等号成立，此时 $\sum_{i=1}^{n} C_i^2$ 取最小值 $\frac{1}{n}$。
步骤 4：确定最有效的无偏估计量
当 $C_i = \frac{1}{n}$ 时，$T = \overline{X}$，方差为 $\frac{\sigma^2}{n}$，为最小。因此，$\overline{X}$ 是最有效的无偏估计量。