题目

03)X与Y不相关,即 (rho )_(xy)=0 ,则与之等价-|||-的条件是 () 。-|||-A (X+Y)=D(X-Y)-|||-B D(X-Y)=D(X+Y)-|||-C (XY)=D(X)D(Y)-|||-D D(XY)=D(X)D(Y)

题目解答

答案

】 : 设 X 与 Y 的协方差为 ρXY=Cov(X,Y), 则 X 与 Y 不相关的充要条件为 ρXY=0, 即Cov(X,Y)=0, 即 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)=D(X)+D(Y),D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)=D(X)+D(Y), 即 D(X+Y)=D(X-Y), 故选 B.
B

解析

考查要点：本题主要考查随机变量不相关的定义及其与方差、协方差的关系，重点在于理解协方差为零时方差的展开形式。

解题核心思路：

  • 不相关的定义是协方差为零，即 $\text{Cov}(X,Y)=0$。
  • 利用方差的性质展开 $D(X+Y)$ 和 $D(X-Y)$，当协方差为零时，两者相等。
  • 排除其他选项中与协方差无关或不成立的条件。

破题关键点：

  • 方差展开公式：$D(X \pm Y) = D(X) + D(Y) \pm 2\text{Cov}(X,Y)$。
  • 当 $\text{Cov}(X,Y)=0$ 时，$D(X+Y) = D(X-Y)$，直接对应选项 B。

选项分析：

  1. 选项 B：
    根据方差展开公式：
    $\begin{aligned} D(X+Y) &= D(X) + D(Y) + 2\text{Cov}(X,Y), \\ D(X-Y) &= D(X) + D(Y) - 2\text{Cov}(X,Y). \end{aligned}$
    当 $\text{Cov}(X,Y)=0$ 时，$D(X+Y) = D(X-Y)$，因此 B 正确。

  2. 其他选项排除：

    • 选项 A：与 B 内容相同，可能存在表述重复（实际应为 B 正确）。
    • 选项 C、D：涉及 $D(XY)$，但 $D(XY)$ 与 $D(X)D(Y)$ 无直接必然关系，除非特殊条件（如独立），而题目仅给出不相关，故不成立。