设X1,X2,···,Nn是来自总体X的一个样本,总体服从二-|||-项分布B(n,p),其中参数p未知,求p的矩估计和极大似然估计.

考查要点：本题要求求二项分布参数$p$的矩估计和极大似然估计，主要考查对两种估计方法的理解与应用。

解题核心思路：

1. 矩估计：利用样本均值估计总体均值，通过解方程$E(X) = \overline{X}$得到$p$的估计量。
2. 极大似然估计：构造似然函数，通过对数转换、求导并解方程，找到使观测数据最可能出现的$p$值。

破题关键点：

• 矩估计的关键是正确写出二项分布的期望$E(X) = np$，并用样本均值$\overline{X}$代替总体均值。
• 极大似然估计需正确写出似然函数，注意二项分布的参数$n$是已知的，样本中每个个体的试验次数相同。

矩估计

1. 总体均值计算：
   二项分布$B(n,p)$的期望为$E(X) = np$。

2. 建立矩方程：
   用样本均值$\overline{X}$代替总体均值，即$np = \overline{X}$。

3. 解方程求$p$：
   解得$\hat{p} = \dfrac{\overline{X}}{n}$，即为$p$的矩估计量。

极大似然估计

1. 构造似然函数：
   样本的似然函数为：
   $L(p) = \prod_{i=1}^{n} C(n, X_i) p^{X_i} (1-p)^{n - X_i}$

2. 取对数似然函数：
   $\ln L(p) = \sum_{i=1}^{n} \left[ \ln C(n, X_i) + X_i \ln p + (n - X_i) \ln (1-p) \right]$

3. 求导并解方程：
   对$p$求导并令导数为零：
   $\frac{d \ln L(p)}{dp} = \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{X_i}{p} - \frac{n - X_i}{1-p} \right) = 0$
   整理得：
   $\frac{\sum_{i=1}^{n} X_i}{p} = \frac{n^2 - \sum_{i=1}^{n} X_i}{1-p}$
   解得$\hat{p} = \dfrac{\overline{X}}{n}$。