题目
3.设总体 sim N(0,(sigma )^2) ,X1,X2,···,Xn为总体X的简单随机样本,X与S^2分别为样本均-|||-值与样本方差,则 () .-|||-(A) dfrac (n{X)^2}({S)^2}sim F(1,n-1) (B) dfrac ((n+1){x)^2}({S)^2}sim F(1,n-1)-|||-(C) dfrac ({X)^2}({S)^2}sim F(1,n-1) (D) dfrac ((n-1){x)^2}({S)^2}sim F(1,n-1)
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定样本均值的分布
由于总体 $X \sim N(0, \sigma^2)$，样本均值 $\overline{X}$ 也服从正态分布，即 $\overline{X} \sim N(0, \frac{\sigma^2}{n})$。因此，$\frac{\overline{X}}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1)$，即 $\frac{n\overline{X}^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(1)$。
步骤 2：确定样本方差的分布
样本方差 $S^2$ 的分布为 $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$。
步骤 3：确定F分布
由于 $\frac{n\overline{X}^2}{\sigma^2}$ 和 $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$ 相互独立，根据F分布的定义，$\frac{\frac{n\overline{X}^2}{\sigma^2}}{\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}} \sim F(1, n-1)$，即 $\frac{n\overline{X}^2}{S^2} \sim F(1, n-1)$。
由于总体 $X \sim N(0, \sigma^2)$，样本均值 $\overline{X}$ 也服从正态分布，即 $\overline{X} \sim N(0, \frac{\sigma^2}{n})$。因此，$\frac{\overline{X}}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1)$，即 $\frac{n\overline{X}^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(1)$。
步骤 2：确定样本方差的分布
样本方差 $S^2$ 的分布为 $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$。
步骤 3：确定F分布
由于 $\frac{n\overline{X}^2}{\sigma^2}$ 和 $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$ 相互独立，根据F分布的定义，$\frac{\frac{n\overline{X}^2}{\sigma^2}}{\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}} \sim F(1, n-1)$，即 $\frac{n\overline{X}^2}{S^2} \sim F(1, n-1)$。