题目

13 已知f(x)=2sin(ax+theta)(ain Z,0leqslanttheta<2pi)是偶函数，f(x)在区间(0,(pi)/(2))单调递增.则theta=____.f((2pi)/(3))=____.

13 已知$f(x)=2\sin(ax+\theta)(a\in Z,0\leqslant\theta<2\pi)$是偶函数，f(x)在区间$(0,\frac{\pi}{2})$单调递增.则$\theta=____.f(\frac{2\pi}{3})=____.$

题目解答

答案

已知函数 $f(x) = 2\sin(ax + \theta)$，其中 $a \in \mathbb{Z}$，$0 \le \theta < 2\pi$。

第一步：利用偶函数性质确定 $\theta$ 的可能值
因为 $f(x)$ 是偶函数，所以满足 $f(-x) = f(x)$ 对任意 $x$ 成立。
即 $2\sin(-ax + \theta) = 2\sin(ax + \theta)$。
展开得：$\sin\theta\cos(ax) - \cos\theta\sin(ax) = \sin\theta\cos(ax) + \cos\theta\sin(ax)$
化简得：$2\cos\theta\sin(ax) = 0$
由于该等式对任意 $x$ 成立，且 $a$ 不能为 $0$（否则 $f(x)$ 为常数函数，不满足在 $(0, \frac{\pi}{2})$ 单调递增的条件），所以必须有 $\cos\theta = 0$。
已知 $0 \le \theta < 2\pi$，满足 $\cos\theta = 0$ 的 $\theta$ 值为 $\frac{\pi}{2}$ 或 $\frac{3\pi}{2}$。

第二步：结合单调性确定 $a$ 和 $\theta$ 的具体值

  1. 若 $\theta = \frac{\pi}{2}$，则 $f(x) = 2\sin(ax + \frac{\pi}{2}) = 2\cos(ax)$。
    求导得 $f'(x) = -2a\sin(ax)$。
    已知 $f(x)$ 在区间 $(0, \frac{\pi}{2})$ 单调递增，则在该区间内 $f'(x) \ge 0$。
    即 $-2a\sin(ax) \ge 0$。
    由于 $a \in \mathbb{Z}$ 且 $a \neq 0$，
    若 $a > 0$，当 $x \in (0, \frac{\pi}{2})$ 时，$ax > 0$。要使 $-2a\sin(ax) \ge 0$，需 $\sin(ax) \le 0$。但在 $x$ 趋近于 $0$ 的正数时，$ax$ 也是趋近于 $0$ 的正数，此时 $\sin(ax) > 0$，矛盾。
    若 $a < 0$，设 $a = -k$ ($k \in \mathbb{Z}^+$)，则 $f(x) = 2\cos(-kx) = 2\cos(kx)$。在 $(0, \frac{\pi}{2})$ 内，$kx \in (0, \frac{k\pi}{2})$。要使 $2\cos(kx)$ 单调递增，区间 $(0, \frac{k\pi}{2})$ 必须在余弦函数的单调递增区间内，即 $(\pi, 2\pi)$ 等。但余弦函数在 $(0, \pi)$ 是递减的，在 $x$ 趋近于 $0$ 时，$2\cos(kx)$ 是递减的，矛盾。
    因此，$\theta = \frac{\pi}{2}$ 不符合题意。

  2. 若 $\theta = \frac{3\pi}{2}$，则 $f(x) = 2\sin(ax + \frac{3\pi}{2}) = -2\cos(ax)$。
    求导得 $f'(x) = 2a\sin(ax)$。
    已知 $f(x)$ 在区间 $(0, \frac{\pi}{2})$ 单调递增，则在该区间内 $f'(x) \ge 0$。
    即 $2a\sin(ax) \ge 0$。
    若 $a > 0$，当 $x \in (0, \frac{\pi}{2})$ 时，$ax \in (0, \frac{a\pi}{2})$。要使 $2a\sin(ax) \ge 0$，需 $\sin(ax) \ge 0$。
    这要求区间 $(0, \frac{a\pi}{2})$ 落在 $[0, \pi]$ 内，即 $\frac{a\pi}{2} \le \pi$，解得 $a \le 2$。
    由于 $a \in \mathbb{Z}$ 且 $a > 0$，$a$ 可以取 $1$ 或 $2$。
    若 $a = 1$，$f(x) = -2\cos(x)$。在 $(0, \frac{\pi}{2})$ 内，$x \in (0, \frac{\pi}{2})$，$\cos(x)$ 递减，$-2\cos(x)$ 递增，符合题意。
    若 $a = 2$，$f(x) = -2\cos(2x)$。在 $(0, \frac{\pi}{2})$ 内，$2x \in (0, \pi)$，$\cos(2x)$ 递减，$-2\cos(2x)$ 递增，符合题意。
    若 $a < 0$，设 $a = -k$ ($k \in \mathbb{Z}^+$)，$f(x) = -2\cos(-kx) = -2\cos(kx)$。同理分析可知，在 $x$ 趋近于 $0$ 时函数递减，不符合题意。
    综上所述，$\theta = \frac{3\pi}{2}$，$a$ 为 $1$ 或 $2$。

第三步：计算 $f(\frac{2\pi}{3})$ 的值
由于 $\theta = \frac{3\pi}{2}$，函数表达式为 $f(x) = -2\cos(ax)$。
当 $a = 1$ 时，$f(x) = -2\cos(x)$，则 $f(\frac{2\pi}{3}) = -2\cos(\frac{2\pi}{3}) = -2 \times (-\frac{1}{2}) = 1$。
当 $a = 2$ 时，$f(x) = -2\cos(2x)$，则 $f(\frac{2\pi}{3}) = -2\cos(\frac{4\pi}{3}) = -2 \times (-\frac{1}{2}) = 1$。
两种情况下结果一致。

结论：
$\theta = \frac{3\pi}{2}$
$f(\frac{2\pi}{3}) = 1$

解析

本题主要考查三角函数的奇偶性、单调性以及函数值的计算。解题的关键在于利用偶函数的性质确定$\theta$的可能值，再结合函数在给定区间的单调性确定$a$和$\theta$的具体值，最后代入计算$f(\frac{2\pi}{3})$。

  1. 利用偶函数性质确定$\theta$的可能值：
    已知$f(x)=2\sin(ax + \theta)$是偶函数，则$f(-x)=f(x)$对任意$x$成立，即$2\sin(-ax + \theta)=2\sin(ax + \theta)$。
    根据两角差的正弦公式$\sin(A - B)=\sin A\cos B - \cos A\sin B$，将$\sin(-ax + \theta)$展开得$\sin\theta\cos(ax) - \cos\theta\sin(ax)$，所以$\sin\theta\cos(ax) - \cos\theta\sin(ax)=\sin\theta\cos(ax) + \cos\theta\sin(ax)$。
    移项化简可得$2\cos\theta\sin(ax)=0$。
    因为该等式对任意$x$成立，且若$a = 0$，$f(x)=2\sin\theta$为常数函数，不满足在$(0,\frac{\pi}{2})$单调递增的条件，所以$\cos\theta = 0$。
    又因为$0\leqslant\theta<2\pi$，所以$\theta=\frac{\pi}{2}$或$\theta=\frac{3\pi}{2}$。
  2. 结合单调性确定$a$和$\theta$的具体值：
    • 当$\theta = \frac{\pi}{2}$时，$f(x)=2\sin(ax + \frac{\pi}{2})$，根据诱导公式$\sin(A + \frac{\pi}{2})=\cos A$，可得$f(x)=2\cos(ax)$。
      对$f(x)$求导，根据求导公式$(\cos x)^\prime=-\sin x$，可得$f^\prime(x)=-2a\sin(ax)$。
      因为$f(x)$在区间$(0,\frac{\pi}{2})$单调递增，所以在该区间内$f^\prime(x)\geqslant0$，即$-2a\sin(ax)\geqslant0$。
      若$a>0$，当$x\in(0,\frac{\pi}{2})$时，$ax>0$，在$x$趋近于$0$的正数时，$\sin(ax)>0$，此时$-2a\sin(ax)<0$，矛盾；若$a<0$，设$a = -k$（$k\in Z^+$），在$x$趋近于$0$时，$f(x)$递减，也矛盾。所以$\theta = \frac{\pi}{2}$不符合题意。
    • 当$\theta = \frac{3\pi}{2}$时，$f(x)=2\sin(ax + \frac{3\pi}{2})$，根据诱导公式$\sin(A + \frac{3\pi}{2})=-\cos A$，可得$f(x)=-2\cos(ax)$。
      对$f(x)$求导，可得$f^\prime(x)=2a\sin(ax)$。
      因为$f(x)$在区间$(0,\frac{\pi}{2})$单调递增，所以在该区间内$f^\prime(x)\geqslant0$，即$2a\sin(ax)\geqslant0$。
      若$a>0$，当$x\in(0,\frac{\pi}{2})$时，$ax\in(0,\frac{a\pi}{2})$，要使$2a\sin(ax)\geqslant0$，需$\sin(ax)\geqslant0$，则$\frac{a\pi}{2}\leqslant\pi$，解得$a\leqslant2$。
      由于$a\in Z$且$a>0$，所以$a$可以取$1$或$2$。
      若$a<0$，设$a = -k$（$k\in Z^+$），在$x$趋近于$0$时，$f(x)$递减，不符合题意。
      综上，$\theta = \frac{3\pi}{2}$，$a$为$1$或$2$。
  3. 计算$f(\frac{2\pi}{3})$的值：
    因为$\theta = \frac{3\pi}{2}$，所以$f(x)=-2\cos(ax)$。
    当$a = 1$时，$f(x)=-2\cos(x)$，则$f(\frac{2\pi}{3})=-2\cos(\frac{2\pi}{3})$。
    根据特殊角的三角函数值$\cos(\frac{2\pi}{3})=-\frac{1}{2}$，可得$f(\frac{2\pi}{3})=-2\times(-\frac{1}{2}) = 1$。
    当$a = 2$时，$f(x)=-2\cos(2x)$，则$f(\frac{2\pi}{3})=-2\cos(\frac{4\pi}{3})$。
    根据特殊角的三角函数值$\cos(\frac{4\pi}{3})=-\frac{1}{2}$，可得$f(\frac{2\pi}{3})=-2\times(-\frac{1}{2}) = 1$。
    两种情况下结果一致。