题目
单选题（共17题，100.0分） 15.（8.0分） 设总体X的概率密度为f(x;theta)=}e^-(x-theta),&若xgeqtheta0,&若x<theta+1 A A. B B. C C. D D.
单选题（共17题，100.0分） 15.（8.0分） 设总体X的概率密度为$f(x;\theta)=\begin{cases}e^{-(x-\theta)},&若x\geq\theta\\0,&若x<\theta\end{cases}，X_{1},X_{2},\cdots X_{n}$是来自总体X的简单随机样本，则未知参数$\theta$的矩估计量为____。 (A）$\overline{X}+1$，(B）$\overline{X}-1$，(C）$\overline{x}-1$，(D）$\overline{x}+1$ A
A. B
B. C
C. D
D.
A. B
B. C
C. D
D.
题目解答
答案
计算总体期望值 $EX$：
\[
EX = \int_{\theta}^{\infty} x e^{-(x-\theta)} \, dx = \theta + 1
\]
令样本均值 $\overline{X}$ 等于总体期望值：
\[
\overline{X} = \theta + 1
\]
解得 $\theta$ 的矩估计量：
\[
\hat{\theta} = \overline{X} - 1
\]
对应选项为：
\[
\boxed{B}
\]
解析
考查要点：本题主要考查矩估计法的应用，需要根据总体概率密度函数计算期望，并通过样本均值建立方程求解参数的矩估计量。
解题核心思路：
- 计算总体期望：根据概率密度函数，求出总体均值$E(X)$。
- 建立矩方程：令样本均值$\overline{X}$等于总体均值$E(X)$，解方程得到参数$\theta$的估计表达式。
破题关键点：
- 识别概率密度函数的结构，发现其本质是指数分布的平移形式，从而简化期望计算。
- 注意样本均值的符号（$\overline{X}$）与参数估计量的关系。
计算总体期望$E(X)$
总体概率密度函数为：
$f(x;\theta) =
\begin{cases}e^{-(x-\theta)}, & x \geq \theta \\0, & x < \theta\end{cases}$
步骤1：写出期望公式
$E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x;\theta) \, dx = \int_{\theta}^{\infty} x e^{-(x-\theta)} \, dx$
步骤2：变量代换
令$t = x - \theta$，则$x = t + \theta$，积分下限变为$t = 0$，得：
$E(X) = \int_{0}^{\infty} (t + \theta) e^{-t} \, dt$
步骤3：拆分积分
拆分为两个积分：
$E(X) = \int_{0}^{\infty} t e^{-t} \, dt + \theta \int_{0}^{\infty} e^{-t} \, dt$
步骤4：计算积分
- 第一个积分$\int_{0}^{\infty} t e^{-t} \, dt = 1$（指数分布的期望）。
- 第二个积分$\int_{0}^{\infty} e^{-t} \, dt = 1$。
因此：
$E(X) = 1 + \theta \cdot 1 = \theta + 1$
建立矩方程
令样本均值$\overline{X}$等于总体均值$E(X)$：
$\overline{X} = \theta + 1$
解得$\theta$的矩估计量：
$\hat{\theta} = \overline{X} - 1$
选项分析
- 选项B为$\overline{X} - 1$，符号正确且符合推导结果。
- 选项C的$\overline{x} - 1$中$\overline{x}$通常表示具体样本值的平均数，而非统计量，故排除。