题目

设随机变量^6x)的分布律为^6x)，问X，Y是否不相关，是否独立？并说明理由.

设随机变量 $(X,Y)$ 的分布律为 $\begin{pmatrix} X/Y&0&1&2 \newline 0&\frac{1}{4}&0&\frac{1}{4} \newline 1&0&\frac{1}{3}&0 \newline 2&\frac{1}{12}&0&\frac{1}{12} \end{pmatrix}$ ，

问X，Y是否不相关，是否独立？并说明理由.

题目解答

答案

X的边缘分布律为 $P\left(X=0\right)=P\left(X=0,Y=0\right)+P\left(X=0,Y=1\right)+P\left(X=0,Y=2\right)$ $=\frac{1}{4}+0+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$ ， $P\left(X=1\right)=P\left(X=1,Y=0\right)+P\left(X=1,Y=1\right)+P\left(X=1,Y=2\right)$ $=0+\frac{1}{3}+0=\frac{1}{3}$ ， $P\left(X=2\right)=P\left(X=2,Y=0\right)+P\left(X=2,Y=1\right)+P\left(X=2,Y=2\right)$ $=\frac{1}{12}+0+\frac{1}{12}=\frac{1}{6}$ ，则 $E\left(X\right)=0\times P\left(X=0\right)+1\times P\left(X=1\right)+2\times P\left(X=2\right)$ $=0\times\frac{1}{2}+1\times\frac{1}{3}+2\times\frac{1}{6}=\frac{2}{3}$ ，

Y的边缘分布律为 $P\left(Y=0\right)=P\left(X=0,Y=0\right)+P\left(X=1,Y=0\right)+P\left(X=2,Y=0\right)$ $=\frac{1}{4}+0+\frac{1}{12}=\frac{1}{3}$ ， $P\left(Y=1\right)=P\left(X=0,Y=1\right)+P\left(X=1,Y=1\right)+P\left(X=2,Y=1\right)$ $=0+\frac{1}{3}+0=\frac{1}{3}$ ， $P\left(Y=2\right)=P\left(X=0,Y=2\right)+P\left(X=1,Y=2\right)+P\left(X=2,Y=2\right)$ $=\frac{1}{4}+0+\frac{1}{12}=\frac{1}{3}$ ，则 $E\left(Y\right)=0\times P\left(Y=0\right)+1\times P\left(Y=1\right)+2\times P\left(Y=2\right)$ $=0\times\frac{1}{3}+1\times\frac{1}{3}+2\times\frac{1}{3}=1$ ， $P\left(XY=0\right)=P\left(X=0\right)+P\left(Y=0\right)-P\left(X=0,Y=0\right)$ $=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{7}{12}$ ， $P\left(XY=1\right)=P\left(X=1,Y=1\right)=\frac{1}{3}$ ， $P\left(XY=2\right)=P\left(X=1,Y=2\right)+P\left(X=2,Y=1\right)$ $=0+0=0$ ， $P\left(XY=4\right)=P\left(X=2,Y=2\right)=\frac{1}{12}$ ，则 $E\left(XY\right)=0\times P\left(XY=0\right)+1\times P\left(XY=1\right)$ $+2\times P\left(XY=2\right)+4\times P\left(XY=4\right)$ $=0\times\frac{7}{12}+1\times\frac{1}{3}+2\times0+4\times\frac{1}{12}=\frac{2}{3}$ ，则 $Cov\left(X,Y\right)=E\left(XY\right)-E\left(X\right)E\left(Y\right)$ $=\frac{2}{3}-\frac{2}{3}\times1=0$ ，则X与Y线性不相关；

$P\left(X=0\right)P\left(Y=0\right)=\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\ne P\left(X=0,Y=0\right)$ ，则X与Y不相互独立。

解析

步骤 1：计算X的边缘分布律
根据题目给出的联合分布律，计算X的边缘分布律。对于X的每个可能取值，边缘分布律是所有Y的可能取值对应的联合概率之和。
步骤 2：计算Y的边缘分布律
同样地，根据题目给出的联合分布律，计算Y的边缘分布律。对于Y的每个可能取值，边缘分布律是所有X的可能取值对应的联合概率之和。
步骤 3：计算E(X)和E(Y)
利用X和Y的边缘分布律，分别计算X和Y的期望值E(X)和E(Y)。
步骤 4：计算E(XY)
利用联合分布律，计算XY的期望值E(XY)。
步骤 5：计算Cov(X,Y)
利用E(X)，E(Y)和E(XY)，计算协方差Cov(X,Y)。
步骤 6：判断X和Y是否不相关
如果Cov(X,Y)=0，则X和Y不相关。
步骤 7：判断X和Y是否独立
如果对于所有X和Y的可能取值，P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y)，则X和Y独立。