题目
非退化随机变量_(i)(i=1,2,... ,n)独立同分布，方差为_(i)(i=1,2,... ,n) , _(i)(i=1,2,... ,n) ，则( ) ( A )_(i)(i=1,2,... ,n)( B )_(i)(i=1,2,... ,n)( C ) _(i)(i=1,2,... ,n)( D ) _(i)(i=1,2,... ,n)
非退化随机变量
独立同分布，方差为
, 
，则( )
( A )
( B )
( C ) 
( D ) 
题目解答
答案
由于非退化随机变量独立同分布，方差为 , 。则当
时， 
。而
，所以 
。又
故答案为( A )。
解析
步骤 1：计算协方差
由于非退化随机变量${X}_{i}(i=1,2,\cdots ,n)$独立同分布，方差为 , $\overline {X}=\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$。则当$=1,2,\cdots \cdots $, n时， ${v}_{00}({X}_{1},{X}_{i})=0$。而$200({X}_{1},{X}_{1})={\sigma }^{2}$，所以 $\omega =(\omega ,{x}_{1})=\infty ({x}_{1},\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{X}_{i})$
$=\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}cov({X}_{1},{X}_{i})=\dfrac {{\sigma }^{2}}{n}$。
步骤 2：计算方差
$D({X}_{1}-\overline {X})=D(\dfrac {n-1}{n}{X}_{1}-\dfrac {1}{n}\sum _{i=2}^{n}{X}_{i})$
$=\dfrac {{(n-1)}^{2}}{{n}^{2}}{o}^{2}+\dfrac {n-1}{{n}^{2}}{\sigma }^{2}=\dfrac {n-1}{n}{\sigma }^{2}$。
由于非退化随机变量${X}_{i}(i=1,2,\cdots ,n)$独立同分布，方差为 , $\overline {X}=\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$。则当$=1,2,\cdots \cdots $, n时， ${v}_{00}({X}_{1},{X}_{i})=0$。而$200({X}_{1},{X}_{1})={\sigma }^{2}$，所以 $\omega =(\omega ,{x}_{1})=\infty ({x}_{1},\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{X}_{i})$
$=\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}cov({X}_{1},{X}_{i})=\dfrac {{\sigma }^{2}}{n}$。
步骤 2：计算方差
$D({X}_{1}-\overline {X})=D(\dfrac {n-1}{n}{X}_{1}-\dfrac {1}{n}\sum _{i=2}^{n}{X}_{i})$
$=\dfrac {{(n-1)}^{2}}{{n}^{2}}{o}^{2}+\dfrac {n-1}{{n}^{2}}{\sigma }^{2}=\dfrac {n-1}{n}{\sigma }^{2}$。