题目

3.曲线y=xln x的平行于直线x-y+1=0的切线方程为（）

3.曲线$y=x\ln x$的平行于直线$x-y+1=0$的切线方程为（）

题目解答

答案

直线 $ x - y + 1 = 0 $ 的斜率为1。对曲线 $ y = x \ln x $ 求导得： \[ y' = \ln x + 1 \] 令导数等于斜率1，解得： \[ \ln x + 1 = 1 \implies \ln x = 0 \implies x = 1 \] 代入原曲线得切点坐标： \[ y = 1 \ln 1 = 0 \implies (1, 0) \] 利用点斜式方程 $ y - y_1 = m(x - x_1) $，得切线方程： \[ y - 0 = 1(x - 1) \implies y = x - 1 \] 或写为一般式： \[ x - y - 1 = 0 \] **答案：** $ y = x - 1 $ 或 $ x - y - 1 = 0 $

解析

本题考查导数的几何意义以及直线方程的求解。解题的关键思路是先求出已知直线的斜率，再通过对曲线求导，令导数等于已知直线的斜率，从而求出切点的横坐标，进而得到切点坐标，最后利用点斜式方程求出切线方程。

  1. 求已知直线的斜率：
    • 对于直线方程$x - y + 1 = 0$，将其转化为斜截式$y=x + 1$，根据斜截式$y=kx+b$（其中$k$为斜率），可得该直线的斜率$k = 1$。
  2. 对曲线求导：
    • 已知曲线$y = x\ln x$，根据求导公式$(uv)^\prime=u^\prime v+uv^\prime$，其中$u = x$，$v=\ln x$。
    • 对$u = x$求导，$u^\prime=(x)^\prime = 1$；对$v=\ln x$求导，$v^\prime=(\ln x)^\prime=\frac{1}{x}$。
    • 所以$y^\prime=(x\ln x)^\prime=(x)^\prime\ln x+x(\ln x)^\prime=1\times\ln x+x\times\frac{1}{x}=\ln x + 1$。
  3. 求切点横坐标：
    • 因为切线与直线$x - y + 1 = 0$平行，所以切线斜率等于直线斜率，即$y^\prime = 1$。
    • 令$\ln x + 1 = 1$，移项可得$\ln x=1 - 1=0$。
    • 根据对数的性质，若$\ln x = 0$，则$x = e^0 = 1$。
  4. 求切点坐标：
    • 把$x = 1$代入曲线方程$y = x\ln x$，可得$y = 1\times\ln 1=0$，所以切点坐标为$(1,0)$。
  5. 求切线方程：
    • 已知切线过点$(1,0)$，斜率$k = 1$，根据点斜式方程$y - y_1 = k(x - x_1)$（其中$(x_1,y_1)$为直线上一点，$k$为直线斜率），可得切线方程为$y - 0 = 1\times(x - 1)$，即$y = x - 1$，化为一般式为$x - y - 1 = 0$。