题目
9.填空题4、设总体Xsim N(1,9)，X_(1),X_(2),...,X_(n)是来自总体x的简单随机样本，overline(X)，S^2分别为样本均值与样本方差，则(1)/(9)sum_(i=1)^n(X_(i)-overline(X))^2sim____；(1)/(9)sum_(i=1)^n(X_(i)-1)^2sim____。第1空：x
9.填空题
4、设总体$X\sim N(1,9)$，$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$是来自总体x的简单随机样本，$\overline{X}$，$S^{2}$分别为样本均值与样本方差，
则$\frac{1}{9}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}\sim$____；$\frac{1}{9}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-1)^{2}\sim$____。
第1空：
x
题目解答
答案
1. **表达式1：**
$\sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline{X})^2 = (n-1)S^2$，由正态总体样本方差性质得
$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1}$，代入$\sigma^2 = 9$得
$\frac{1}{9}\sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline{X})^2 \sim \chi^2_{n-1}$。
2. **表达式2：**
标准化平方和性质得
$\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{X_i - \mu}{\sigma}\right)^2 \sim \chi^2_n$，代入$\mu = 1$，$\sigma = 3$得
$\frac{1}{9}\sum_{i=1}^{n}(X_i - 1)^2 \sim \chi^2_n$。
**答案：**
\[
\boxed{\chi^2_{n-1}, \chi^2_n}
\]
解析
本题主要考察正态总体下样本统计量的分布性质，具体涉及卡方分布的应用。
第一空：$\frac{1}{9}\sum_{i=1}^{n}(X_{ii}-\overline{X})^{2}$的分布
- 样本方差与平方和的关系：样本方差定义为 $S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i - \overline{X})^2$，因此 $\sum_{i=1}^n(X_i - \overline{X})^2 = (n-1)S^2$。
- 卡方分布的性质：对于正态总体 $X~N(μ,σ²)，样本方差$S^2$满足 $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1}$（自由度为n-1的卡方分布）。
- 代入参数：本题中σ²=9，故 $\frac{1}{9}\sum_{i=1}^n(X_i - \overline{X})^2 = \frac{(n-1)S^2}{9} \sim \chi^2_{n-1}$。
第二空：$\frac{1}{9}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-1)^{2}$的分布
- 标准化变量：总体均值μ=1，标准差σ=3，每个$X_i$标准化得 $\frac{X_i - \mu}{\sigma} = \sim N(0,1)$。
- 独立标准正态变量的平方和：独立的标准正态变量的平方和服从卡方为n的卡方分布，即 $\sum_{i=1}^n\left(\frac{X_i - \mu}{\sigma}\right)^2 \sim \chi^2_n$。
- 代入参数：$\frac{X_i - 1}{3} \sim NN(0,1)，故 $\sum_{i=1}^n\left(\frac{Xi - 1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}\sum{i=1}^n(X_i - 1)^2 \sim \chi^2_n$。