[题目]设以2π为周期的函数f(x )具有二阶导数,-|||-且满足 (x)+2f'(x+pi )=sin x, 试求f

考查要点：本题主要考查微分方程的求解，特别是涉及函数周期性和导数的方程。需要学生掌握变量替换、联立方程以及特解与齐次解的结合方法。

解题核心思路：

1. 利用周期性：由于$f(x)$是$2\pi$周期函数，其导数也具有相同周期，可将原方程中的变量进行替换，建立联立方程。
2. 联立方程消元：通过将原方程中的$x$替换为$x+\pi$，得到两个方程，联立消去$f(x+\pi)$或$f'(x+\pi)$，转化为常微分方程。
3. 求解非齐次方程：通过假设特解形式，结合齐次解的结构，最终确定通解。

破题关键点：

• 变量替换：令$g(x) = f(x+\pi)$，将原方程转化为关于$f(x)$和$g(x)$的联立方程。
• 周期性约束：齐次解中的指数项无法满足周期性，因此仅保留特解。

步骤1：变量替换与联立方程
令$g(x) = f(x+\pi)$，则原方程变为：
$f(x) + 2g'(x) = \sin x \quad \text{(1)}$
将$x$替换为$x+\pi$，利用周期性$f(x+2\pi)=f(x)$，得：
$g(x) + 2f'(x) = -\sin x \quad \text{(2)}$

步骤2：消元与转化为微分方程
从方程(1)解出$f(x)$：
$f(x) = \sin x - 2g'(x) \quad \text{(1a)}$
将$f(x)$代入方程(2)：
$g(x) + 2\left[\cos x - 2g''(x)\right] = -\sin x$
整理得：
$-4g''(x) + g(x) = -\sin x - 2\cos x \quad \text{(3)}$

步骤3：求解非齐次方程

1. 齐次方程解：特征方程$4r^2 -1=0$，根$r=\pm\frac{1}{2}$，齐次解为$g_h(x)=C_1 e^{\frac{x}{2}} + C_2 e^{-\frac{x}{2}}$。
   但因$f(x)$需$2\pi$周期，故$C_1=C_2=0$，齐次解为$0$。
2. 特解假设：设$g_p(x)=A\sin x + B\cos x$，代入方程(3)得：
   $A=-\frac{1}{5}, \quad B=-\frac{2}{5}$
   特解为$g(x)=-\frac{1}{5}\sin x -\frac{2}{5}\cos x$。

步骤4：求$f(x)$
将$g(x)$代入(1a)：
$f(x) = \sin x - 2\left(-\frac{1}{5}\cos x + \frac{2}{5}\sin x\right)$
化简得：
$f(x) = \frac{1}{5}\sin x + \frac{2}{5}\cos x$