已知lim _(xarrow infty )((1+dfrac {k)(x))}^2x=(e)^2，则k=( )A.4 B.2c.3D.1

考查要点：本题主要考查极限中的重要公式$\lim _{x\rightarrow \infty }{\left(1+\dfrac {a}{x}\right)}^{x}=e^{a}$及其变形应用。

解题核心思路：
将题目中的表达式$\left(1+\dfrac{k}{x}\right)^{2x}$转化为标准形式$\left[\left(1+\dfrac{k}{x}\right)^{x}\right]^{2}$，利用已知极限公式求出内层极限，再通过指数运算与等式比较确定$k$的值。

破题关键点：

1. 识别标准极限形式，将指数$2x$拆分为$x \cdot 2$；
2. 应用极限公式$\lim _{x\rightarrow \infty }{\left(1+\dfrac {k}{x}\right)}^{x}=e^{k}$；
3. 通过指数相等建立方程$2k=2$，解得$k=1$。

步骤1：变形表达式
将原式$\left(1+\dfrac{k}{x}\right)^{2x}$改写为：
$\left[\left(1+\dfrac{k}{x}\right)^{x}\right]^{2}$

步骤2：应用标准极限公式
根据公式$\lim _{x\rightarrow \infty }{\left(1+\dfrac {k}{x}\right)}^{x}=e^{k}$，可得：
$\lim _{x\rightarrow \infty }\left[\left(1+\dfrac{k}{x}\right)^{x}\right]^{2} = \left(e^{k}\right)^{2} = e^{2k}$

步骤3：建立方程并求解
题目给出极限值为$e^{2}$，因此：
$e^{2k} = e^{2} \implies 2k = 2 \implies k = 1$