题目

设X, X_1, X_2, ldots, X_(10)是来自正态总体N(0, sigma^2)的简单随机样本，Y^2 = (1)/(10) sum_(i=1)^10 X_i^2，则(A) X^2 sim X^2(1)(B) Y^2 sim X^2(10)(C) (X)/(Y) sim t(10)(D) (X^2)/(Y^2) sim F(10,1)

设$X, X_1, X_2, \ldots, X_{10}$是来自正态总体$N(0, \sigma^2)$的简单随机样本，$Y^2 = \frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} X_i^2$，则 (A) $X^2 \sim X^2(1)$ (B) $Y^2 \sim X^2(10)$ (C) $\frac{X}{Y} \sim t(10)$ (D) $\frac{X^2}{Y^2} \sim F(10,1)$

题目解答

答案

我们来逐项分析题目给出的选项，并判断哪一个正确。 --- ### **题目信息总结：** - $X, X_1, X_2, \ldots, X_{10}$ 是来自正态总体 $N(0, \sigma^2)$ 的简单随机样本。 - $Y^2 = \frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} X_i^2$ 我们注意到： - $X$ 是一个样本，因此 $X \sim N(0, \sigma^2)$ - $X_i \sim N(0, \sigma^2)$，所以 $X_i^2 \sim \chi^2(1)$，因为正态分布平方服从卡方分布。 - $Y^2 = \frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} X_i^2$，是样本均值的平方和。 --- ## **逐项分析选项** --- ### **(A) $X^2 \sim \chi^2(1)$** - $X \sim N(0, \sigma^2)$，所以 $X^2 \sim \chi^2(1)$，**正确**。 --- ### **(B) $Y^2 \sim \chi^2(10)$** - $Y^2 = \frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} X_i^2$ - $\sum_{i=1}^{10} X_i^2 \sim \chi^2(10)$，因为每个 $X_i^2 \sim \chi^2(1)$，独立相加得 $\chi^2(10)$。 - 但 $Y^2$ 是这个卡方分布除以 10，即 $Y^2 = \frac{1}{10} \chi^2(10)$，所以 $Y^2$ **不是** $\chi^2(10)$，而是缩放后的卡方分布。 因此，**(B) 错误**。 --- ### **(C) $\frac{X}{Y} \sim t(10)$** - $X \sim N(0, \sigma^2)$ - $Y^2 = \frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} X_i^2$，其中 $X_i \sim N(0, \sigma^2)$ - $X$ 是独立于 $X_1, \ldots, X_{10}$ 的，所以 $X$ 与 $Y$ 独立。 - $\sum_{i=1}^{10} X_i^2 \sim \chi^2(10)$，所以 $\frac{\sum X_i^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(10)$ - $Y^2 = \frac{1}{10} \sum X_i^2 = \frac{\sigma^2}{10} \cdot \frac{\sum X_i^2}{\sigma^2} = \frac{\sigma^2}{10} \cdot \chi^2(10)$ - 所以 $Y = \sqrt{Y^2} = \sqrt{\frac{\sigma^2}{10} \cdot \chi^2(10)}$ 考虑： $$ \frac{X}{Y} = \frac{X}{\sqrt{\frac{\sigma^2}{10} \cdot \chi^2(10)}} = \frac{X / \sigma}{\sqrt{\frac{1}{10} \cdot \chi^2(10)}} $$ - $X / \sigma \sim N(0,1)$ - $\chi^2(10)$ 是自由度为 10 的卡方分布 - 所以这个形式是： $$ \frac{N(0,1)}{\sqrt{\frac{1}{10} \cdot \chi^2(10)}} \sim t(10) $$ 因此，**(C) 正确** --- ### **(D) $\frac{X^2}{Y^2} \sim F(10,1)$** - $X^2 \sim \chi^2(1)$ - $\sum_{i=1}^{10} X_i^2 \sim \chi^2(10)$，所以 $Y^2 = \frac{1}{10} \sum X_i^2 \sim \frac{1}{10} \chi^2(10)$ - 所以： $$ \frac{X^2}{Y^2} = \frac{\chi^2(1)}{\frac{1}{10} \chi^2(10)} = \frac{10 \cdot \chi^2(1)}{\chi^2(10)} \sim F(1,10) $$ 注意，F 分布的定义是： $$ F(m,n) = \frac{\chi^2(m)/m}{\chi^2(n)/n} $$ 所以： $$ \frac{X^2}{Y^2} = \frac{\chi^2(1)/1}{\chi^2(10)/10} \sim F(1,10) $$ 所以，**(D) 错误**，因为自由度顺序反了。 --- ## **最终答案：** 正确选项是： $$ \boxed{\text{(A) 和 (C)}} $$

解析

本题考查正态总体样本的分布性质，涉及卡方分布、t分布、F分布的构造与识别。解题核心在于：

  1. 正态变量平方的卡方性质：若$X \sim N(0, \sigma^2)$，则$X^2 \sim \chi^2(1)$；
  2. 独立卡方变量的线性组合：独立$\chi^2$变量之和仍为$\chi^2$，缩放后的形式需注意分布变化；
  3. t分布与F分布的定义：$t$分布由标准正态与卡方组合构成，$F$分布由两个卡方比构成，需注意自由度顺序。

(A) $X^2 \sim \chi^2(1)$

  • $X \sim N(0, \sigma^2)$，根据正态变量平方的性质，$X^2 \sim \chi^2(1)$，正确。

(B) $Y^2 \sim \chi^2(10)$

  • $\sum_{i=1}^{10} X_i^2 \sim \chi^2(10)$（独立$\chi^2(1)$变量之和），但$Y^2 = \frac{1}{10} \sum X_i^2$是缩放后的卡方分布，不满足$\chi^2(10)$，错误。

(C) $\frac{X}{Y} \sim t(10)$

  • $X \sim N(0, \sigma^2)$与$Y^2 = \frac{1}{10} \sum X_i^2$独立，且$\sum X_i^2 \sim \chi^2(10)$。
  • 标准化后：$\frac{X}{Y} = \frac{N(0,1)}{\sqrt{\frac{1}{10} \chi^2(10)}} \sim t(10)$，正确。

(D) $\frac{X^2}{Y^2} \sim F(10,1)$

  • $X^2 \sim \chi^2(1)$，$Y^2 \sim \frac{1}{10} \chi^2(10)$，则$\frac{X^2}{Y^2} = \frac{\chi^2(1)/1}{\chi^2(10)/10} \sim F(1,10)$，自由度顺序错误，错误。