计算题(6分)-|||-已知向量 (alpha )_(1)=((1,2,-1,1))^r .(alpha )_(2)=((2,3,1,-1))^r ,(alpha )_(3)=((-1,-1,-2,2))^r ,试求与向量α1,α2,α3-|||-都正交的向量.-|||-请输入答案:

本题考查向量正交的概念以及线性方程组的求解。解题的关键思路是根据向量正交的定义，即两个向量的内积为$0$，列出与已知向量$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\alpha_3$都正交的向量$\alpha_4=(x_1,x_2,x_3,x_4)^T$所满足的方程组，然后求解该方程组。

设向量$\alpha_4=(x_1,x_2,x_3,x_4)^T$，因为$\alpha_4$与$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\alpha_3$都正交，根据向量正交的定义，两个向量的内积为$0$，则有：
\(\begin{cases} \alpha_1^T\alpha_4 = 0 \\ \alpha_2^T\alpha_4 = 0 \\ \alpha_3^T\alpha_4 = 0 \end{cases}\)
将$\alpha_1=(1,2,-1,1)^T$，$\alpha_2=(2,3,1,-1)^T$，$\alpha_3=(-1,-1,-2,2)^T$代入上述方程组可得：
\(\begin{cases} x_1 + 2x_2 - x_3 + x_4 = 0 & (1)\\ 2x_1 + 3x_2 + x_3 - x_4 = 0 & (2)\\ -x_1 - x_2 - 2x_3 + 2x_4 = 0 & (3) \end{cases}\)
对该方程组进行求解：

• 首先，用$(2)$式减去$(1)$式的$2$倍消去$x_1$：
  $\begin{align*}2x_1 + 3x_2 + x_3 - x_4 - 2(x_1 + 2x_2 - x_3 + x_4)&=0\\2x_1 + 3x_2 + x_3 - x_4 - 2x_1 - 4x_2 + 2x_3 - 2x_4&=0\\-x_2 + 3x_3 - 3x_4&=0\\x_2&= 3x_3 - 3x_4\end{align*}$
• 然后，将$x_2 = 3x_3 - 3x_4$代入$(1)$式消去$x_2$：
  $\begin{align*}x_1 + 2(3x_3 - 3x_4) - x_3 + x_4&=0\\x_1 + 6x_3 - 6x_4 - x_3 + x_4&=0\\x_1 + 5x_3 - 5x_4&=0\\x_1&= -5x_3 + 5x_4\end{align*}$
  由于方程组有$2$个独立的方程，$4$个未知数，所以其中$2$个未知数可以自由取值，这里我们假设自由取值的两个未知数为$x_3$和$x_4$。
  因此，与向量$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\alpha_3$都正交的向量为$(-5x_3 + 5x_4, 3x_3 - 3x_4, x_3, x_4)$，其中$x_3,x_4\in R$。