题目

设总体 X sim N(mu, sigma^2)，X_1, X_2, ldots, X_n 为来自该总体的样本，bar(X) 为样本均值，S^2 为样本方差，则 mu 的极大似然估计为A. bar(X)B. SC. bar(X)^2D. S^2

设总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，$X_1, X_2, \ldots, X_n$ 为来自该总体的样本，$\bar{X}$ 为样本均值，$S^2$ 为样本方差，则 $\mu$ 的极大似然估计为 A. $\bar{X}$ B. $S$ C. $\bar{X}^2$ D. $S^2$

题目解答

答案

我们来逐步分析这道题： --- ### 一、题目背景已知总体 $ X \sim N(\mu, \sigma^2) $，即总体服从正态分布，参数为均值 $ \mu $ 和方差 $ \sigma^2 $。从该总体中抽取了一个样本： $$ X_1, X_2, \ldots, X_n $$ 记样本均值为 $ \bar{X} $，样本方差为 $ S^2 $。题目问的是：**参数 $ \mu $ 的极大似然估计（MLE）是什么？** --- ### 二、极大似然估计（MLE）的定义极大似然估计是通过最大化似然函数（或对数似然函数）来估计参数的方法。对于正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $，其概率密度函数为： $$ f(x; \mu, \sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left(-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right) $$ 样本的联合概率密度函数（即似然函数）为： $$ L(\mu, \sigma^2) = \prod_{i=1}^{n} f(X_i; \mu, \sigma^2) = \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\right)^n \exp\left(-\frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \mu)^2\right) $$ 为了方便计算，我们取对数似然函数： $$ \ln L(\mu, \sigma^2) = -\frac{n}{2} \ln(2\pi) - \frac{n}{2} \ln(\sigma^2) - \frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \mu)^2 $$ --- ### 三、对 $ \mu $ 求极大似然估计我们固定 $ \sigma^2 $，对 $ \mu $ 求导，令导数为 0，找到极大值点。对数似然函数中与 $ \mu $ 有关的部分是： $$ -\frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \mu)^2 $$ 对其求导： $$ \frac{d}{d\mu} \left[ -\frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \mu)^2 \right] = -\frac{1}{2\sigma^2} \cdot 2 \sum_{i=1}^{n} (X_i - \mu)(-1) = \frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \mu) $$ 令导数为 0： $$ \sum_{i=1}^{n} (X_i - \mu) = 0 \Rightarrow \sum_{i=1}^{n} X_i = n\mu \Rightarrow \mu = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i = \bar{X} $$ --- ### 四、结论所以，**正态分布中参数 $ \mu $ 的极大似然估计是样本均值 $ \bar{X} $**。 --- ### ✅ 正确答案是： $$ \boxed{\text{A. } \bar{X}} $$

解析

考查要点：本题主要考查正态分布参数的极大似然估计（MLE）方法，重点在于理解MLE的基本原理及计算步骤。

解题核心思路：

极大似然估计的核心是通过最大化样本的联合概率密度函数（或对数似然函数）来确定参数的估计值。
正态分布的MLE特性：对于正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$，参数 $\mu$ 的MLE是样本均值 $\bar{X}$，而 $\sigma^2$ 的MLE是样本方差 $S^2$（注意：此处 $S^2$ 是无偏估计时需除以 $n-1$，但MLE中需除以 $n$）。
关键步骤：构造对数似然函数，对 $\mu$ 求导并令导数为零，解得 $\mu = \bar{X}$。

破题关键点：

明确MLE的定义，正确写出正态分布的对数似然函数。
对 $\mu$ 求导时，仅需关注与 $\mu$ 相关的项，忽略常数项。
通过求导结果推导出 $\mu$ 的估计值。

极大似然估计的推导过程

写出正态分布的概率密度函数：
$f(x; \mu, \sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left(-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right)$
构造似然函数：
样本的联合概率密度函数为：
$L(\mu, \sigma^2) = \prod_{i=1}^{n} f(X_i; \mu, \sigma^2) = \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\right)^n \exp\left(-\frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \mu)^2\right)$
取对数似然函数：
$\ln L(\mu, \sigma^2) = -\frac{n}{2} \ln(2\pi) - \frac{n}{2} \ln(\sigma^2) - \frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \mu)^2$
对 $\mu$ 求导并令导数为零：
对数似然函数中与 $\mu$ 相关的项为 $-\frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \mu)^2$，对其求导：
$\frac{d}{d\mu} \left( -\frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \mu)^2 \right) = \frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \mu)$
令导数为零，得：
$\sum_{i=1}^{n} (X_i - \mu) = 0 \implies \mu = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i = \bar{X}$
结论：
$\mu$ 的极大似然估计为样本均值 $\bar{X}$，对应选项 A。