题目

设有k台仪器，已知用第i台仪器测量的标准差为sigma_(i)(i=1,2,...,k)，且是已知的.用这些仪器独立地对某一物理量θ各观察一次，分别得到x_(1),x_(2),...,x_(k).设仪器都没有系统偏差，问a_(1),a_(2),...,a_(k)应取何值，方能使hat(theta)=sum_(i=1)^ka_(i)x_(i)成为θ的无偏估计，且方差达到最小?

设有k台仪器，已知用第i台仪器测量的标准差为$\sigma_{i}(i=1,2,\cdots,k)$，且是已知的.用这些仪器独立地对某一物理量θ各观察一次，分别得到$x_{1},x_{2},\cdots,x_{k}$.设仪器都没有系统偏差，问$a_{1},a_{2},\cdots,a_{k}$应取何值，方能使$\hat{\theta}=\sum_{i=1}^{k}a_{i}x_{i}$成为θ的无偏估计，且方差达到最小?

题目解答

答案

为了使 $\hat{\theta} = \sum_{i=1}^k a_i x_i$ 成为 $\theta$ 的无偏估计，需满足 $\sum_{i=1}^k a_i = 1$。方差为 $\text{Var}(\hat{\theta}) = \sum_{i=1}^k a_i^2 \sigma_i^2$。使用拉格朗日乘数法，定义拉格朗日函数： \[ L = \sum_{i=1}^k a_i^2 \sigma_i^2 - \lambda \left(\sum_{i=1}^k a_i - 1\right). \] 求偏导并令为零，解得： \[ a_i = \frac{\lambda}{2 \sigma_i^2}, \quad \lambda = \left(\sum_{i=1}^k \frac{1}{2 \sigma_i^2}\right)^{-1}. \] 代入得： \[ a_i = \frac{\frac{1}{\sigma_i^2}}{\sum_{j=1}^k \frac{1}{\sigma_j^2}}. \] **答案：** \[ \boxed{a_i = \frac{\frac{1}{\sigma_i^2}}{\sum_{j=1}^k \frac{1}{\sigma_j^2}}, \quad i = 1, 2, \cdots, k} \]

解析

考查要点：本题主要考查无偏估计和最小方差估计的综合应用，需要结合拉格朗日乘数法解决带约束的最优化问题。

解题核心思路：

  1. 无偏性条件：要求线性组合的系数之和为1，即$\sum_{i=1}^k a_i = 1$。
  2. 方差最小化：在无偏条件下，通过优化权重$a_i$，使估计量的方差$\sum_{i=1}^k a_i^2 \sigma_i^2$最小。
  3. 拉格朗日乘数法：引入约束条件，构造拉格朗日函数，求解偏导得到最优权重。

破题关键点：

  • 权重与方差倒数相关：最优权重$a_i$应与$\frac{1}{\sigma_i^2}$成比例，体现“精度高（方差小）的仪器赋予更大权重”的直观。

步骤1：无偏性条件

估计量$\hat{\theta} = \sum_{i=1}^k a_i x_i$无偏的充要条件是：
$\mathbb{E}[\hat{\theta}] = \sum_{i=1}^k a_i \mathbb{E}[x_i] = \sum_{i=1}^k a_i \theta = \theta \sum_{i=1}^k a_i.$
令$\mathbb{E}[\hat{\theta}] = \theta$，得约束条件：
$\sum_{i=1}^k a_i = 1.$

步骤2：方差表达式

由于$x_i$独立，估计量的方差为：
$\text{Var}(\hat{\theta}) = \sum_{i=1}^k a_i^2 \text{Var}(x_i) = \sum_{i=1}^k a_i^2 \sigma_i^2.$

步骤3：构造拉格朗日函数

在约束$\sum_{i=1}^k a_i = 1$下，最小化$\sum_{i=1}^k a_i^2 \sigma_i^2$。构造拉格朗日函数：
$L = \sum_{i=1}^k a_i^2 \sigma_i^2 - \lambda \left( \sum_{i=1}^k a_i - 1 \right).$

步骤4：求偏导并解方程

对$a_i$求偏导并令其为零：
$\frac{\partial L}{\partial a_i} = 2 a_i \sigma_i^2 - \lambda = 0 \quad \Rightarrow \quad a_i = \frac{\lambda}{2 \sigma_i^2}.$

步骤5：确定λ的值

将$a_i = \frac{\lambda}{2 \sigma_i^2}$代入约束条件$\sum_{i=1}^k a_i = 1$：
$\sum_{i=1}^k \frac{\lambda}{2 \sigma_i^2} = 1 \quad \Rightarrow \quad \lambda = \frac{1}{\sum_{i=1}^k \frac{1}{2 \sigma_i^2}}.$

步骤6：最终权重表达式

将$\lambda$代入$a_i$的表达式，得：
$a_i = \frac{\frac{1}{\sigma_i^2}}{\sum_{j=1}^k \frac{1}{\sigma_j^2}}.$