题目
3、随机变量 sim N((2.2)^2) , sim B(10,0.2), 且X与Y相互独立,由切比雪夫不等式估计-|||-(X-4leqslant Yleqslant X+4)geqslant -|||-(A)0.95; (B) 0.85; (C)0.75; (D)0.65.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定随机变量X和Y的期望和方差
- 随机变量 $X\sim N(2,2^2)$，即 $X$ 服从均值为2，方差为4的正态分布。因此，$E(X)=2$，$D(X)=4$。
- 随机变量 $Y\sim B(10,0.2)$，即 $Y$ 服从参数为10和0.2的二项分布。因此，$E(Y)=10\times0.2=2$，$D(Y)=10\times0.2\times(1-0.2)=1.6$。
步骤 2：计算随机变量Y-X的期望和方差
- 由于X和Y相互独立，$E(Y-X)=E(Y)-E(X)=2-2=0$。
- $D(Y-X)=D(Y)+D(X)=1.6+4=5.6$。
步骤 3：应用切比雪夫不等式
- 切比雪夫不等式指出，对于任意随机变量Z，有$P(|Z-E(Z)|\geq k\sigma)\leq \frac{1}{k^2}$，其中$\sigma$是Z的标准差。
- 在本题中，$Z=Y-X$，$E(Z)=0$，$D(Z)=5.6$，$\sigma=\sqrt{5.6}$。
- 我们需要估计$P(X-4\leqslant Y\leqslant X+4)$，即$P(-4\leqslant Y-X\leqslant 4)$，等价于$P(|Y-X|\leqslant 4)$。
- 根据切比雪夫不等式，$P(|Y-X|\geqslant 4)\leq \frac{5.6}{4^2}=\frac{5.6}{16}=0.35$。
- 因此，$P(|Y-X|\leqslant 4)\geq 1-0.35=0.65$。
- 随机变量 $X\sim N(2,2^2)$，即 $X$ 服从均值为2，方差为4的正态分布。因此，$E(X)=2$，$D(X)=4$。
- 随机变量 $Y\sim B(10,0.2)$，即 $Y$ 服从参数为10和0.2的二项分布。因此，$E(Y)=10\times0.2=2$，$D(Y)=10\times0.2\times(1-0.2)=1.6$。
步骤 2：计算随机变量Y-X的期望和方差
- 由于X和Y相互独立，$E(Y-X)=E(Y)-E(X)=2-2=0$。
- $D(Y-X)=D(Y)+D(X)=1.6+4=5.6$。
步骤 3：应用切比雪夫不等式
- 切比雪夫不等式指出，对于任意随机变量Z，有$P(|Z-E(Z)|\geq k\sigma)\leq \frac{1}{k^2}$，其中$\sigma$是Z的标准差。
- 在本题中，$Z=Y-X$，$E(Z)=0$，$D(Z)=5.6$，$\sigma=\sqrt{5.6}$。
- 我们需要估计$P(X-4\leqslant Y\leqslant X+4)$，即$P(-4\leqslant Y-X\leqslant 4)$，等价于$P(|Y-X|\leqslant 4)$。
- 根据切比雪夫不等式，$P(|Y-X|\geqslant 4)\leq \frac{5.6}{4^2}=\frac{5.6}{16}=0.35$。
- 因此，$P(|Y-X|\leqslant 4)\geq 1-0.35=0.65$。