设 X 服从正态分布 N(mu, sigma^2)，从中抽取 n=31 个相互独立的观察值，样本均值 overline(X)=58.61 及样本方差 S^2=(5.8)^2，则方差 sigma^2 的置信区间用到的已知分布为(）。A. (overline(X)-mu)/(S/sqrt(n)) sim t(n-1)B. ((n-1)S^2)/(sigma^2) sim chi^2(n-1)C. (overline(X)-mu)/(S/sqrt(n)) sim N(0,1)D. (nS^2)/(sigma^2) sim chi^2(n)

考查要点：本题主要考查正态分布下总体方差$\sigma^2$的置信区间构造所依据的统计分布。

解题核心思路：
当总体服从正态分布$N(\mu, \sigma^2)$时，样本方差$S^2$与总体方差$\sigma^2$的关系服从卡方分布。具体而言，统计量$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$服从自由度为$n-1$的卡方分布$\chi^2(n-1)$。因此，构造方差$\sigma^2$的置信区间时，需基于这一分布。

破题关键点：

• 明确方差的置信区间依赖于卡方分布，而非$t$分布或正态分布。
• 注意自由度为$n-1$，而非$n$，这是由于样本方差$S^2$本身是基于样本均值计算的，损失了1个自由度。

选项分析：

1. 选项A：$\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)$

   • 该分布用于总体均值$\mu$的置信区间，而非方差$\sigma^2$，排除。

2. 选项B：$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$

   • 正确。根据统计量的定义，当总体为正态分布时，$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$服从自由度为$n-1$的卡方分布，这是构造方差置信区间的理论基础。

3. 选项C：$\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}} \sim N(0,1)$

   • 该分布仅在总体方差$\sigma^2$已知时成立（此时用$\sigma$代替$S$），且仍用于均值推断，排除。

4. 选项D：$\frac{nS^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n)$

   • 自由度错误。样本方差$S^2$的计算中，自由度为$n-1$，而非$n$，排除。