设 X_1, X_2, Lambda, X_n 是来自正态总体 N(mu, sigma^2) 的样本，则（ ）是 mu 无偏估计.(A) X_1 + X_2 + X_3(B) (2)/(5) X_1 + (2)/(5) X_2 + (2)/(5) X_3(C) (1)/(5) X_1 + (1)/(5) X_2 + (1)/(5) X_3(D) (1)/(5) X_1 + (1)/(5) X_2 + (3)/(5) X_3

我们要判断哪个选项是总体均值 $\mu$ 的无偏估计量。

一、基本概念

设 $X_1, X_2, \dots, X_n$ 是来自正态总体 $N(\mu, \sigma^2)$ 的样本。

一个估计量 $\hat{\theta}$ 是 $\theta$ 的无偏估计量，当且仅当：

$\mathbb{E}[\hat{\theta}] = \theta$

对于本题，我们要判断哪个选项是 $\mu$ 的无偏估计量，即判断哪个估计量的期望等于 $\mu$。

二、逐项分析

我们假设样本是独立同分布的，即 $X_i \sim N(\mu, \sigma^2)$，且相互独立。

(A) $X_1 + X_2 + X_3$

$\mathbb{E}[X_1 + X_2 + X_3] = \mathbb{E}[X_1] + \mathbb{E}[X_2] + \mathbb{E}[X_3] = \mu + \mu + \mu = 3\mu$

不等于 $\mu$，所以 不是无偏估计量。

(B) $\frac{2}{5} X_1 + \frac{2}{5} X_2 + \frac{2}{5} X_3$

$\mathbb{E}[\frac{2}{5} X_1 + \frac{2}{5} X_2 + \frac{2}{5} X_3] = \frac{2}{5} \mu + \frac{2}{5} \mu + \frac{2}{5} \mu = \frac{6}{5} \mu$

不等于 $\mu$，所以 不是无偏估计量。

(C) $\frac{1}{5} X_1 + \frac{1}{5} X_2 + \frac{1}{5} X_3$

$\mathbb{E}[\frac{1}{5} X_1 + \frac{1}{5} X_2 + \frac{1}{5} X_3] = \frac{1}{5} \mu + \frac{1}{5} \mu + \frac{1}{5} \mu = \frac{3}{5} \mu$

不等于 $\mu$，所以 不是无偏估计量。

(D) $\frac{1}{5} X_1 + \frac{1}{5} X_2 + \frac{3}{5} X_3$

$\mathbb{E}[\frac{1}{5} X_1 + \frac{1}{5} X_2 + \frac{3}{5} X_3] = \frac{1}{5} \mu + \frac{1}{5} \mu + \frac{3}{5} \mu = \left(\frac{1 + 1 + 3}{5}\right)\mu = \frac{5}{5} \mu = \mu$

等于 $\mu$，所以这是 $\mu$ 的无偏估计量。

三、结论

只有选项 (D) 的期望等于 $\mu$，所以它是 $\mu$ 的无偏估计量。

✅ 正确答案是：

$\boxed{(D)}$