题目
已知总体X服从参数为25的泊松分布，_(1),(X)_(2)... ,(X)_(100)是来自总体X的样本，_(1),(X)_(2)... ,(X)_(100)是样本均值，分别用切比雪夫不等式与中心极限定理近似计算_(1),(X)_(2)... ,(X)_(100).
已知总体X服从参数为25的泊松分布，
是来自总体X的样本，
是样本均值，分别用切比雪夫不等式与中心极限定理近似计算
.
题目解答
答案
总体X服从参数为
的泊松分布，则
，则
，由切比雪夫不等式可得
，由中心极限定理可得
.
解析
步骤 1：计算总体X的期望和方差
总体X服从参数为$\lambda = 25$的泊松分布，因此总体X的期望$E(X) = \lambda = 25$，方差$D(X) = \lambda = 25$。
步骤 2：计算样本均值的期望和方差
样本均值$\overline{X}$的期望$E(\overline{X}) = E(X) = 25$，方差$D(\overline{X}) = \frac{D(X)}{n} = \frac{25}{100} = 0.25$。
步骤 3：使用切比雪夫不等式计算概率
根据切比雪夫不等式，对于任意的$\epsilon > 0$，有$P(|\overline{X} - E(\overline{X})| \geq \epsilon) \leq \frac{D(\overline{X})}{\epsilon^2}$。因此，$P(|\overline{X} - 25| < 1) \geq 1 - \frac{D(\overline{X})}{1^2} = 1 - \frac{0.25}{1} = 0.75$。
步骤 4：使用中心极限定理计算概率
根据中心极限定理，当样本量足够大时，样本均值$\overline{X}$近似服从正态分布$N(E(\overline{X}), D(\overline{X}))$。因此，$P(24 < \overline{X} < 26) = P(-2 < \frac{\overline{X} - 25}{\sqrt{0.25}} < 2) = P(-2 < Z < 2)$，其中$Z$是标准正态分布的随机变量。查标准正态分布表，得$P(-2 < Z < 2) = 2\Phi(2) - 1 = 2 \times 0.9772 - 1 = 0.9544$。
总体X服从参数为$\lambda = 25$的泊松分布，因此总体X的期望$E(X) = \lambda = 25$，方差$D(X) = \lambda = 25$。
步骤 2：计算样本均值的期望和方差
样本均值$\overline{X}$的期望$E(\overline{X}) = E(X) = 25$，方差$D(\overline{X}) = \frac{D(X)}{n} = \frac{25}{100} = 0.25$。
步骤 3：使用切比雪夫不等式计算概率
根据切比雪夫不等式，对于任意的$\epsilon > 0$，有$P(|\overline{X} - E(\overline{X})| \geq \epsilon) \leq \frac{D(\overline{X})}{\epsilon^2}$。因此，$P(|\overline{X} - 25| < 1) \geq 1 - \frac{D(\overline{X})}{1^2} = 1 - \frac{0.25}{1} = 0.75$。
步骤 4：使用中心极限定理计算概率
根据中心极限定理，当样本量足够大时，样本均值$\overline{X}$近似服从正态分布$N(E(\overline{X}), D(\overline{X}))$。因此，$P(24 < \overline{X} < 26) = P(-2 < \frac{\overline{X} - 25}{\sqrt{0.25}} < 2) = P(-2 < Z < 2)$，其中$Z$是标准正态分布的随机变量。查标准正态分布表，得$P(-2 < Z < 2) = 2\Phi(2) - 1 = 2 \times 0.9772 - 1 = 0.9544$。