题目
4.某种导线，要求其电阻的标准差不得超过0.005(欧姆).今在生产的一批导线中取样品9根，测得s=0.007(欧姆)，设总体为正态分布，参数均未知.问在水平α=0.05下能否认为这批导线的标准差显著地偏大?
4.某种导线，要求其电阻的标准差不得超过0.005(欧姆).今在生产的一批导线中取样品9根，测得s=0.007(欧姆)，设总体为正态分布，参数均未知.问在水平α=0.05下能否认为这批导线的标准差显著地偏大?
题目解答
答案
为了确定这批导线的标准差是否显著地偏大，我们需要进行假设检验。具体步骤如下：
1. **提出假设：**
- 零假设 $ H_0 $：$\sigma \leq 0.005$ (标准差不超过0.005欧姆)
- 备择假设 $ H_1 $：$\sigma > 0.005$ (标准差超过0.005欧姆)
2. **选择检验统计量：**
由于总体为正态分布，且我们关注的是标准差，我们使用卡方检验统计量：
\[
\chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}
\]
其中 $ n $ 是样本大小， $ s $ 是样本标准差， $ \sigma_0 $ 是 hypothesized 标准差。
3. **计算检验统计量：**
- 样本大小 $ n = 9 $
- 样本标准差 $ s = 0.007 $ 欧姆
- hypothesized 标准差 $ \sigma_0 = 0.005 $ 欧姆
代入公式，我们得到：
\[
\chi^2 = \frac{(9-1)(0.007)^2}{(0.005)^2} = \frac{8 \times 0.000049}{0.000025} = \frac{0.000392}{0.000025} = 15.68
\]
4. **确定临界值：**
对于单侧卡方检验，自由度 $ \nu = n-1 = 8 $ 且显著水平 $ \alpha = 0.05 $。我们找到卡方分布表中 $ \chi^2_{0.05, 8} $ 的值。从表中查得：
\[
\chi^2_{0.05, 8} = 15.507
\]
5. **比较检验统计量与临界值：**
- 检验统计量 $ \chi^2 = 15.68 $
- 临界值 $ \chi^2_{0.05, 8} = 15.507 $
由于 $ 15.68 > 15.507 $，我们拒绝零假设 $ H_0 $。
6. **结论：**
在水平 $ \alpha = 0.05 $ 下，我们有充分证据认为这批导线的标准差显著地偏大。
因此，最终答案是 $\boxed{拒绝H_0}$。
解析
步骤 1：提出假设
- 零假设 $ H_0 $：$\sigma \leq 0.005$ (标准差不超过0.005欧姆)
- 备择假设 $ H_1 $：$\sigma > 0.005$ (标准差超过0.005欧姆)
步骤 2：选择检验统计量
- 由于总体为正态分布，且我们关注的是标准差，我们使用卡方检验统计量：
\[ \chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2} \]
其中 $ n $ 是样本大小， $ s $ 是样本标准差， $ \sigma_0 $ 是 hypothesized 标准差。
步骤 3：计算检验统计量
- 样本大小 $ n = 9 $
- 样本标准差 $ s = 0.007 $ 欧姆
- hypothesized 标准差 $ \sigma_0 = 0.005 $ 欧姆
代入公式，我们得到：
\[ \chi^2 = \frac{(9-1)(0.007)^2}{(0.005)^2} = \frac{8 \times 0.000049}{0.000025} = \frac{0.000392}{0.000025} = 15.68 \]
步骤 4：确定临界值
- 对于单侧卡方检验，自由度 $ \nu = n-1 = 8 $ 且显著水平 $ \alpha = 0.05 $。我们找到卡方分布表中 $ \chi^2_{0.05, 8} $ 的值。从表中查得：
\[ \chi^2_{0.05, 8} = 15.507 \]
步骤 5：比较检验统计量与临界值
- 检验统计量 $ \chi^2 = 15.68 $
- 临界值 $ \chi^2_{0.05, 8} = 15.507 $
由于 $ 15.68 > 15.507 $，我们拒绝零假设 $ H_0 $。
步骤 6：结论
- 在水平 $ \alpha = 0.05 $ 下，我们有充分证据认为这批导线的标准差显著地偏大。
- 零假设 $ H_0 $：$\sigma \leq 0.005$ (标准差不超过0.005欧姆)
- 备择假设 $ H_1 $：$\sigma > 0.005$ (标准差超过0.005欧姆)
步骤 2：选择检验统计量
- 由于总体为正态分布，且我们关注的是标准差，我们使用卡方检验统计量：
\[ \chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2} \]
其中 $ n $ 是样本大小， $ s $ 是样本标准差， $ \sigma_0 $ 是 hypothesized 标准差。
步骤 3：计算检验统计量
- 样本大小 $ n = 9 $
- 样本标准差 $ s = 0.007 $ 欧姆
- hypothesized 标准差 $ \sigma_0 = 0.005 $ 欧姆
代入公式，我们得到：
\[ \chi^2 = \frac{(9-1)(0.007)^2}{(0.005)^2} = \frac{8 \times 0.000049}{0.000025} = \frac{0.000392}{0.000025} = 15.68 \]
步骤 4：确定临界值
- 对于单侧卡方检验，自由度 $ \nu = n-1 = 8 $ 且显著水平 $ \alpha = 0.05 $。我们找到卡方分布表中 $ \chi^2_{0.05, 8} $ 的值。从表中查得：
\[ \chi^2_{0.05, 8} = 15.507 \]
步骤 5：比较检验统计量与临界值
- 检验统计量 $ \chi^2 = 15.68 $
- 临界值 $ \chi^2_{0.05, 8} = 15.507 $
由于 $ 15.68 > 15.507 $，我们拒绝零假设 $ H_0 $。
步骤 6：结论
- 在水平 $ \alpha = 0.05 $ 下，我们有充分证据认为这批导线的标准差显著地偏大。