设总体 X 的概率密度函数为[ f(x, lambda) = } (1)/(2lambda) e^-(x)/(2lambda) & x geq 0 0 & x A. 错B. 对

本题考查极大似然估计的知识。解题思路是先根据总体的概率密度函数写出似然函数，再对似然函数取对数，然后求对数似然函数关于参数 $\lambda$ 的导数，令导数为 0 求解出 $\lambda$ 的极大似然估计值。

步骤一：写出似然函数

已知总体 $X$ 的概率密度函数为 $f(x, \lambda) = \begin{cases} \frac{1}{2\lambda} e^{-\frac{x}{2\lambda}} & x \geq 0 \\ 0 & x < 0. \end{cases}$
设 $(X_1, X_2, \cdots, X_n)$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，似然函数 $L(\lambda)$ 为样本的联合概率密度函数，即：
$L(\lambda)=\prod_{i = 1}^{n}f(x_i,\lambda)$
因为当 $x_i\geq0$ 时，$f(x_i,\lambda)=\frac{1}{2\lambda} e^{-\frac{x_i}{2\lambda}}$，所以当所有 $x_i\geq0$ 时，有：
$L(\lambda)=\prod_{i = 1}^{n}\frac{1}{2\lambda} e^{-\frac{x_i}{2\lambda}}=\left(\frac{1}{2\lambda}\right)^n e^{-\frac{1}{2\lambda}\sum_{i = 1}^{n}x_i}$

步骤二：对似然函数取对数

为了方便计算，对似然函数 $L(\lambda)$ 取自然对数，得到对数似然函数 $\ln L(\lambda)$：
$\ln L(\lambda)=\ln\left[\left(\frac{1}{2\lambda}\right)^n e^{-\frac{1}{2\lambda}\sum_{i = 1}^{n}x_i}\right]$
根据对数的运算法则 $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ 和 $\ln a^b = b\ln a$，可得：
$\ln L(\lambda)=n\ln\frac{1}{2\lambda}-\frac{1}{2\lambda}\sum_{i = 1}^{n}x_i=n\ln\frac{1}{2}+n\ln\frac{1}{\lambda}-\frac{1}{2\lambda}\sum_{i = 1}^{n}x_i$

步骤三：求对数似然函数关于 $\lambda$ 的导数

对 $\ln L(\lambda)$ 关于 $\lambda$ 求导：
$\frac{d\ln L(\lambda)}{d\lambda}=-\frac{n}{\lambda}+\frac{1}{2\lambda^2}\sum_{i = 1}^{n}x_i$

步骤四：令导数为 0 求解 $\lambda$

令 $\frac{d\ln L(\lambda)}{d\lambda}=0$，即：
$-\frac{n}{\lambda}+\frac{1}{2\lambda^2}\sum_{i = 1}^{n}x_i = 0$
方程两边同时乘以 $2\lambda^2$ 得到：
$-2n\lambda+\sum_{i = 1}^{n}x_i = 0$
移项可得：
$2n\lambda=\sum_{i = 1}^{n}x_i$
解得：
$\lambda=\frac{1}{2}\frac{\sum_{i = 1}^{n}x_i}{n}=\frac{1}{2}\bar{X}$
所以 $\lambda$ 的极大似然估计为 $\frac{1}{2}\bar{X}$，而不是 $\bar{X}$。