设 a_(n)=int_(0)^1x^nsqrt(1-x^2)dx(n=0,1,2,...)(I) 证明: 数列 a_{n)} 单调递减，且 a_(n)=(n-1)/(n+2)a_(n-2)(n=2,3,...)；(II) 求 lim_(ntoinfty)(a_(n))/(a_(n-1)).

我们来解决这个积分数列问题，分为两个部分：

题目：

设
$a_n = \int_0^1 x^n \sqrt{1 - x^2} \, dx \quad (n = 0, 1, 2, \ldots)$

(I) 证明：数列 $\{a_n\}$ 单调递减，且满足递推关系：

$a_n = \frac{n - 1}{n + 2} a_{n - 2} \quad (n = 2, 3, \ldots)$

第一步：证明单调递减

我们考虑比较 $a_n$ 和 $a_{n+1}$：

$a_n = \int_0^1 x^n \sqrt{1 - x^2} \, dx,\quad a_{n+1} = \int_0^1 x^{n+1} \sqrt{1 - x^2} \, dx$

由于在区间 $[0,1]$ 上，$x^n \ge x^{n+1}$，且 $\sqrt{1 - x^2} \ge 0$，所以被积函数 $x^n \sqrt{1 - x^2} \ge x^{n+1} \sqrt{1 - x^2}$，从而：

$a_n \ge a_{n+1}$

因此，数列 $\{a_n\}$ 单调递减。

第二步：递推关系的证明

我们使用分部积分法来推导递推关系。

设：

$a_n = \int_0^1 x^n \sqrt{1 - x^2} \, dx$

令 $u = x^{n-1}$，$dv = x \sqrt{1 - x^2} dx$，这样：

• $du = (n-1)x^{n-2} dx$
• $v = \int x \sqrt{1 - x^2} dx$

我们先计算 $v$：

令 $u = 1 - x^2$，则 $du = -2x dx$，所以：

$\int x \sqrt{1 - x^2} dx = -\frac{1}{2} \int \sqrt{u} du = -\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} = -\frac{1}{3} (1 - x^2)^{3/2}$

所以：

$v = -\frac{1}{3}(1 - x^2)^{3/2}$

代入分部积分公式：

$a_n = uv|_0^1 - \int_0^1 v \, du = \left[ -\frac{1}{3} x^{n-1}(1 - x^2)^{3/2} \right]_0^1 - \int_0^1 -\frac{1}{3}(1 - x^2)^{3/2} \cdot (n-1)x^{n-2} dx$

注意到边界项在 $x=0$ 和 $x=1$ 都为 0（因为 $x^{n-1} = 0$ 或 $(1 - x^2)^{3/2} = 0$），所以：

$a_n = \frac{n - 1}{3} \int_0^1 x^{n-2} (1 - x^2)^{3/2} dx$

我们注意到 $(1 - x^2)^{3/2} = (1 - x^2)^{1/2} \cdot (1 - x^2)$，所以：

$a_n = \frac{n - 1}{3} \int_0^1 x^{n-2} (1 - x^2) \sqrt{1 - x^2} dx = \frac{n - 1}{3} \left( \int_0^1 x^{n-2} \sqrt{1 - x^2} dx - \int_0^1 x^n \sqrt{1 - x^2} dx \right)$

即：

$a_n = \frac{n - 1}{3}(a_{n-2} - a_n)$

移项整理：

$a_n + \frac{n - 1}{3} a_n = \frac{n - 1}{3} a_{n-2} \Rightarrow a_n \left(1 + \frac{n - 1}{3} \right) = \frac{n - 1}{3} a_{n-2}$

$a_n \cdot \frac{n + 2}{3} = \frac{n - 1}{3} a_{n-2} \Rightarrow a_n = \frac{n - 1}{n + 2} a_{n - 2}$

得证。

(II) 求极限：

$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n-1}}$

我们利用上面的递推关系：

$a_n = \frac{n - 1}{n + 2} a_{n-2}$

我们考虑：

$\frac{a_n}{a_{n-1}} = \frac{a_n}{a_{n-1}} = \frac{\frac{n - 1}{n + 2} a_{n-2}}{a_{n-1}}$

我们再利用递推关系 $a_{n-1} = \frac{n - 2}{n + 1} a_{n-3}$，所以：

$\frac{a_n}{a_{n-1}} = \frac{\frac{n - 1}{n + 2} a_{n-2}}{\frac{n - 2}{n + 1} a_{n-3}} = \frac{(n - 1)(n + 1)}{(n + 2)(n - 2)} \cdot \frac{a_{n-2}}{a_{n-3}}$

继续递推下去，会发现这个比值最终会趋向于 1，因为每一项的系数趋于 1，而数列 $\{a_n\}$ 是单调递减且有界的（因为积分有界），所以极限存在。

我们考虑：

$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n-1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n - 1}{n + 2} = 1$

但注意：我们不能直接用这个比值，因为 $a_n$ 和 $a_{n-1}$ 不是直接的递推关系，而是隔了一项。

更准确的做法是利用递推关系：

$a_n = \frac{n - 1}{n + 2} a_{n-2} \Rightarrow \frac{a_n}{a_{n-2}} = \frac{n - 1}{n + 2}$

我们想求 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n-1}}$，可以利用夹逼法。

由于数列单调递减，有：

$a_n \le a_{n-1} \le a_{n-2} \Rightarrow \frac{a_n}{a_{n-1}} \le 1,\quad \frac{a_{n-1}}{a_{n-2}} \le 1$

又因为：

$\frac{a_n}{a_{n-2}} = \frac{n - 1}{n + 2} \to 1 \quad \text{当 } n \to \infty$

所以：

$\frac{a_n}{a_{n-1}} \to 1$

最终答案：

(I) 数列 $\{a_n\}$ 单调递减，且满足递推关系：

$a_n = \frac{n - 1}{n + 2} a_{n - 2} \quad (n = 2, 3, \ldots)$

(II) 极限为：

$\boxed{\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n-1}} = 1}$