题目

设 n 阶方阵 A, B 满足 A^2 = E, B^2 = E，且 |A| + |B| = 0，证明：A + B 不可逆。

设 $n$ 阶方阵 $A, B$ 满足 $A^2 = E, B^2 = E$，且 $|A| + |B| = 0$，证明：$A + B$ 不可逆。

题目解答

答案

我们来逐步分析并证明这个题目。 --- ### **题目条件：** - $ A $ 和 $ B $ 是 $ n $ 阶方阵（即 $ n \times n $ 的矩阵）； - $ A^2 = E $，$ B^2 = E $，其中 $ E $ 是单位矩阵； - $ |A| + |B| = 0 $，这里的 $ |A| $ 表示矩阵 $ A $ 的**行列式**，即 $ \det(A) + \det(B) = 0 $； - 要证明：$ A + B $ 不可逆，即 $ A + B $ 的行列式为 0，或等价地说，$ \det(A + B) = 0 $。 --- ### **第一步：分析 $ A^2 = E $ 的性质** 由 $ A^2 = E $，可知 $ A $ 是**对合矩阵**（involution），即其平方为单位矩阵。对合矩阵的重要性质： - $ A $ 可对角化； - 其特征值只能是 $ 1 $ 或 $ -1 $。同理，$ B^2 = E $，所以 $ B $ 也是对合矩阵，其特征值也只能是 $ 1 $ 或 $ -1 $。 --- ### **第二步：行列式的性质** 由于 $ A^2 = E $，两边取行列式： $$ \det(A^2) = \det(E) = 1 $$ $$ \Rightarrow \det(A)^2 = 1 \Rightarrow \det(A) = \pm 1 $$ 同理，$ \det(B)^2 = 1 \Rightarrow \det(B) = \pm 1 $ 题目给出： $$ \det(A) + \det(B) = 0 $$ 由于 $ \det(A), \det(B) \in \{1, -1\} $，它们的和为 0 的唯一可能是： $$ \det(A) = 1,\ \det(B) = -1 \quad \text{或} \quad \det(A) = -1,\ \det(B) = 1 $$ 即：$ \det(A) = -\det(B) $ --- ### **第三步：利用 $ A^2 = E $ 推出 $ A^{-1} = A $** 因为 $ A^2 = E $，所以 $ A^{-1} = A $ 同理，$ B^{-1} = B $ --- ### **第四步：考虑 $ A + B $ 是否可逆** 我们要证明：$ A + B $ 不可逆，即存在非零向量 $ x $，使得 $ (A + B)x = 0 $，或者说 $ \det(A + B) = 0 $ 我们尝试构造一个恒等式或利用矩阵的性质来推导。 --- ### **关键思路：考虑 $ A(A + B)B $** 我们尝试计算一个乘积，看看是否能得出有用信息。计算： $$ A(A + B)B = AAB + ABB = A^2 B + AB^2 $$ 利用 $ A^2 = E $, $ B^2 = E $，得： $$ = E \cdot B + A \cdot E = B + A = A + B $$ 所以： $$ A(A + B)B = A + B $$ 即： $$ A(A + B)B = A + B $$ 将右边移到左边： $$ A(A + B)B - (A + B) = 0 \Rightarrow (A(A + B)B - (A + B)) = 0 \Rightarrow (A + B) = A(A + B)B $$ 我们可以改写为： $$ (A + B) = A(A + B)B $$ 现在，我们对两边取**行列式**：左边：$ \det(A + B) $ 右边：$ \det(A(A + B)B) = \det(A) \cdot \det(A + B) \cdot \det(B) $ 所以： $$ \det(A + B) = \det(A) \cdot \det(A + B) \cdot \det(B) $$ 即： $$ \det(A + B) = \det(A)\det(B) \cdot \det(A + B) $$ 移项： $$ \det(A + B) - \det(A)\det(B) \det(A + B) = 0 \Rightarrow \det(A + B) \left(1 - \det(A)\det(B)\right) = 0 $$ --- ### **第五步：分析这个等式** 我们有： $$ \det(A + B) \left(1 - \det(A)\det(B)\right) = 0 $$ 这个等式成立，有两种可能： 1. $ \det(A + B) = 0 $，即 $ A + B $ 不可逆（这是我们想证的）； 2. $ 1 - \det(A)\det(B) = 0 $，即 $ \det(A)\det(B) = 1 $ 我们现在分析第二种情况是否可能。由前面知道：$ \det(A) = -\det(B) $，所以： $$ \det(A)\det(B) = \det(A) \cdot (-\det(A)) = -(\det(A))^2 = -1 \quad (\text{因为 } \det(A)^2 = 1) $$ 所以： $$ \det(A)\det(B) = -1 \Rightarrow 1 - \det(A)\det(B) = 1 - (-1) = 2 \ne 0 $$ 因此，括号部分 $ 1 - \det(A)\det(B) = 2 \ne 0 $ 所以，只有可能是： $$ \det(A + B) = 0 $$ --- ### **结论：** $ A + B $ 的行列式为 0，因此 $ A + B $ 不可逆。 --- ### **最终答案：** $$ \boxed{A + B \text{ 不可逆}} $$ **证毕。**

解析

考查要点：本题主要考查对合矩阵的性质、行列式的运算性质，以及矩阵可逆性的判定方法。

解题核心思路：

对合矩阵的性质：由 $A^2 = E$ 和 $B^2 = E$ 可知，$A$ 和 $B$ 均为对合矩阵，其行列式的绝对值为 $1$，且互为逆矩阵。
行列式关系：根据 $|A| + |B| = 0$，可推出 $|A| = -|B|$，即 $|A|\cdot|B| = -1$。
构造关键等式：通过构造 $A(A+B)B = A+B$，结合行列式的乘积性质，推导出矛盾，从而证明 $A+B$ 不可逆。

破题关键点：

利用对合矩阵的逆矩阵性质：$A^{-1} = A$，$B^{-1} = B$。
构造矩阵乘积等式：通过合理选择矩阵乘积，将 $A+B$ 的行列式与已知条件关联，最终导出矛盾。

步骤 1：分析对合矩阵的行列式
由 $A^2 = E$，取行列式得：
$\det(A^2) = \det(E) \implies \det(A)^2 = 1 \implies \det(A) = \pm 1.$
同理，$\det(B) = \pm 1$。根据条件 $\det(A) + \det(B) = 0$，可得 $\det(A) = -\det(B)$，即 $\det(A)\det(B) = -1$。

步骤 2：构造矩阵乘积等式
计算 $A(A+B)B$：
$A(A+B)B = AAB + ABB = A^2B + AB^2 = EB + AE = B + A = A + B.$
因此，$A(A+B)B = A + B$。

步骤 3：取行列式并化简
对等式两边取行列式：
$\det(A(A+B)B) = \det(A+B).$
利用行列式的乘积性质：
$\det(A) \cdot \det(A+B) \cdot \det(B) = \det(A+B).$
整理得：
$\det(A+B) \left(1 - \det(A)\det(B)\right) = 0.$

步骤 4：分析等式成立的条件
由 $\det(A)\det(B) = -1$，代入得：
$1 - \det(A)\det(B) = 1 - (-1) = 2 \neq 0.$
因此，唯一可能的情况是 $\det(A+B) = 0$，即 $A+B$ 不可逆。