5、随机变量X1,X 2独立同服于N(0,1),其分布函数和密度函数分别为ϕ (x),φ(x),则-|||-max(X1,X2)的概率密度为:-|||-(A) ①^2(x); (B)2ϕ(x)φ (x); (C) ϕ(x)φ(x); (D)2ϕ(x).

考查要点：本题主要考查独立随机变量最大值的分布函数及概率密度函数的求解方法，需要掌握分布函数法和概率密度函数的导数关系。

解题核心思路：

1. 分布函数法：先求出最大值的分布函数，即 $P(\max(X_1, X_2) \leq x)$，再通过独立性转化为两个变量各自概率的乘积。
2. 求导得密度：对分布函数求导得到概率密度函数，需注意链式法则的应用。

破题关键点：

• 独立性：利用独立随机变量的联合概率公式。
• 分布函数与密度函数的关系：明确分布函数的导数即为概率密度函数。

步骤1：求最大值的分布函数

$\max(X_1, X_2) \leq x$ 等价于 $X_1 \leq x$ 且 $X_2 \leq x$。由于 $X_1$ 和 $X_2$ 独立，分布函数为：
$F_{\max}(x) = P(X_1 \leq x, X_2 \leq x) = P(X_1 \leq x) \cdot P(X_2 \leq x) = \Phi(x) \cdot \Phi(x) = \Phi^2(x).$

步骤2：求概率密度函数

对分布函数求导：
$f_{\max}(x) = \frac{d}{dx} F_{\max}(x) = \frac{d}{dx} \Phi^2(x) = 2\Phi(x) \cdot \phi(x).$

关键结论：概率密度函数为 $2\Phi(x)\phi(x)$，对应选项 B。